1. Das Vektorprodukt
Neben dem Skalarprodukt \( \vec{b} \) ·\( \vec{a} \) , das eine Zahl ist, gibt es das Vektorprodukt \( \vec{b} \) ×\( \vec{a} \), das ein Vektor ist, der sowohl auf \( \vec{a} \) als auch auf \( \vec{b} \) senkrecht steht und dessen Länge gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms ist, das von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) aufgespannt wird. Ein Vektor \( \vec{c} \) , der sowohl zu \( \vec{a} \) als auch zu \( \vec{b} \) senkrecht und für eine geeignete reelle Zahl k gleich k∙(\( \vec{a} \) ×\( \vec{b} \) ) ist, lässt sich auch mit Hilfe des Skalarproduktes finden. Dazu macht man den Ansatz \( \vec{c} \) =\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) und setzt eine der drei Unbekannten x, y oder z willkürlich fest. Die anderen beiden erhält man dann über \( \vec{a} \) ·\( \vec{c} \) =0 und \( \vec{b} \) ·\( \vec{c} \) =0.
Das Vektorprodukt der Vektoren \( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} d\\e\\f \end{pmatrix} \) ist definiert durch \( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)×\( \begin{pmatrix} d\\e\\f \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} bf-ce\\cd-af\\ae-bd \end{pmatrix} \)
2. Die Parameter-Form
Drei verschiedene Punkte A, B und C im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen, legen genau eine Ebene e fest. Zu einem beliebigen Punkt X der Ebene e gelangt man, ausgehend vom Ursprung O des Koordinatensystems, auf folgendem Wege: \( \vec{OX} \) =\( \vec{OA} \) +μ·\( \vec{AB} \)+λ·\( \vec{AC} \). \( \vec{OA} \) heißt „Stützvektor“, \( \vec{AB} \) und \( \vec{AC} \) heißen „Richtungsvektoren“ der Ebene e. Die gesamte Gleichung heißt „Parameterform“ der Gleichung von e. μ und λ sind darin die Parameter. Für A(a1|a2|a3) B(b1|b2|b3) und C(c1|c2|c3) ist \( \vec{OA} \)= \( \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \) , \( \vec{AB} \)= \( \begin{pmatrix} b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3 \end{pmatrix} \) und \( \vec{AC} \) =\( \begin{pmatrix} c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3 \end{pmatrix} \).
Für X(x|y|z) ist \( \vec{OX} \)=\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) und die Ebenengleichung heißt
\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \)+μ·\( \begin{pmatrix} b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3 \end{pmatrix} \)+λ·\( \begin{pmatrix} c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3 \end{pmatrix} \).
3. Umwandung der Koordinatenform in die Normalenform
Das Durchmultiplizieren der Ebenengleichung \( \vec{x} \)=\( \vec{a} \) +μ·\( \vec{u} \) + λ·\( \vec{v} \) mit dem zu \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) senkrechten Vektor \( \vec{n} \) führt zur Gleichung \( \vec{x} \)·\( \vec{n} \)=\( \vec{a} \) ·\( \vec{n} \) , welche die gleiche Ebene beschreibt. Der Vektor \( \vec{n} \) heißt „Normale“ der Ebene und die Gleichung heißt Normalenform der Ebenengleichung. Der Stützvektor \( \vec{a} \) bleibt in dieser Form sichtbar. Nach der Skalarmultiplikation auf der rechten Seite der Gleichung, steht dort eine Zahl.
Will man die Normalenform einer Ebenengleichung von e in die Parameterform der Ebenengleichung von e umwandeln, sucht man zunächst drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte A(a1|a2|a3) B(b1|b2|b3) und C(c1|c2|c3), die in e liegen, und setzt diese in \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \)+μ·\( \begin{pmatrix} b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3 \end{pmatrix} \)+λ·\( \begin{pmatrix} c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3 \end{pmatrix} \) ein.
Die Gleichung \( \vec{x} \)·\( \vec{n} \)=\( \vec{a} \) ·\( \vec{n} \) lässt sich für \( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) und \( \vec{n} \) =\( \begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix} \) umwandeln in die sogenannte „Koordinatenform“ durch skalares Ausmultiplizieren mit \( \vec{n} \) . Dann lautet die Koordinatenform:
n1x+n2y+n3z=a1n1+a2n2+a3n3.
Dies ist eine Gleichung mit 3 Variablen x, y und z, von denen man – auf der Suche nach einem Punkt – zwei frei wählen kann, um die dritte zu bestimmen.
