Position und Art von Extrema bestimmen, wer kennt sich aus?

Question

Guten Morgen :-)
ich habe Probleme die Position und Art (Minimum und Maximum) der lokalen Extrema von folgenden Funktionen zu bestimmen, es wäre super wenn mir einer von euch helfen kann.

1. f(x,y)=x^2-2xy+y^3+1

2. f(x,y,z)=x2+y4+z2

3. f(x,y)=√1-x^2-y^2
Als erstes muss man doch die partielle Ableitung bilden oder? Und dann nach Hess weiter machen, aber da stockt es bei mir. 
Ich freue mich über Hilfe von euch :-)

Comments

f(x,y)=√1-x^2-y^2
oder
f(x,y)=√ ( 1-x^2-y^2)

?

---

Also in der Aufgabe steht es ohne Klammern also so: \( \sqrt{1-x^2-y^2} \)

---

weil der Wurzeloberstrich über dem ganzen Term
ist. Ist dir ein langer Oberstrich nicht möglich
mußt du Klammern setzen.
Fehlende Klammerung ist der Hauptfehler
in Fragetexten.

Answer 1

Als erstes muss man doch die partielle Ableitung bilden oder?

f(x,y)=x^2-2xy+y^3+1

Ja, bei 1. also

f_x = 2x - 2y =0   und f_y = -2x + 2y^2 = 0

 <=>      y = x und     -2x + 2x^2 = 0

 <=>      y = x und    ( x=0 oder x=1)

Also gibt es zwei Punkte, in denen Extrema sein könnten

  (0;0)   und   ( 1 ; 1 )

Jetzt an diesen Punkten die Hessematrix betrachten:

mit f_xx = 2 und fyy=4y und fxy = fyx = -2 also ist die erste Hessematrix

      2      -2
     -2       0

Die ist neg. definit, also bei (0;0) ein Maximum.

Die zweite ist

      2      -2
     -2       4

Die ist pos. definit, also bei (1;1) ein Minimum.

Comments

Vielen Dank. Weist du auch wie das mit der zweiten Funktion geht, wenn ich x,y und z habe? Wie muss man dabei die Hess Matrix anlegen?

---

alle möglichen 2. Ableitungen bilden, also

für die erste Zeile

f_xx,  f_xy  f_xz

und für die zweite

f_yx (das ist aber gleich f_xy ) f_yy und f_yz

etc

---

Ich habe jetzt die Partielle Ableitung wie folgt:

f´_xx(x,y,z) = 2x               f´´_(x,y,z) = 2

f´_xy(x,y,z) = 4y³              f´´(x,y,z) = 12y²

^{f´xz(x,y,z) = 2x                              f´´ (x,y,z) = 2}

^{Ist das so korrekt? Ich glaube da ist noch was ziemlich falsch.}

---

Wohl eher so:

f '_x (x,yz)=2x   also

 f ' '_xx(x,y,z)=2 und  f ' '_xy(x,y,z)=0 weil kein y mehr da ebenso   f ' '_xz(x,y,z)=0

f '_y(x,y,z)=4y^3 ==>  f ' '_yy(x,y,z)=12y^2 und  f ' '_yx(x,y,z)= f ' '_yz(x,y,z)=0 etc.