Differentialgleichung Basis bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei L der Vektorraum aller Lösungen $$ A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} .\\ y`-y`-5y-3y = 0 $$

1. Bestimmen Sie eine Basis von L .

2. Sei $$ U:=\left\{A\in L / \lim\limits_{x\to\infty} A(x) = 0 \right\} $$. Zeigen Sie , dass U ein Untervektorraum von L ist und bestimmen Sie die Dimension von U .

Problem/Ansatz:

Zu 1. Ich habe die Eigenwerte bestimmt ,  x=3 und x= -1 und dann einfach die Lösung $$y(x)=c_{1}*e^{3x}+c_{2}*e^{-1x}$$ so hingeschrieben , meine Frage ist , ist das schon meine gesamte Basis ?

Und was soll ich dann bei 2. machen ?

Vielen Dank im Voraus für eine Antwort .

Answer 1

Falls

y(x)=c_{1}*e^{3x}+c_{2}*e^{-1x}  , c1, c2 € R.

die allgemeine Lösung der DGL ist, kannst du

1.  als Basis B von L die Menge

B = { e^{3x} , e^{-x} } verwenden.

2. Filtere aus der Grenzwertbedingung eine Bedingung für eine der Konstanten in

y(x)=c_{1}*e^{3x}+c_{2}*e^{-1x} , c1, c2 € R.

heraus. Und untersuche dann die noch verbleibenden Lösungen auf UVR-Eigenschaften.

Comments

Ok danke , was sind UVR-Eigenschaften ?