Extrema mit Lagrange

Question

Servus Leute,
kann mir jemand weiterhelfen

Gegeben die Funktion f(x,y) = e^(4-x^2-y^2)
Nebenbedingung: x^2 + 2y = 6

Ich habe die Nebenbedingung mit 0 gleichgesetzt und beides mit Lagrange wie folgt zusammengefasst:

z= e^(4-x^2-y^2) + λ * (x^2+2y-6)


I: ðz/ðx = -2x*e^(4-x-y^2) + 2xλ 

II: ðz/ðy = -2y*e^(4-x^2-y) + 2λ

III: ðz/ðλ = x^2 +2y -6 => y= -0,5x^2+3


III in II: -2*(-0,5x^2+3)*e^(4-x^2-(-0,5x^2+3)) +2λ=0

<=> x^2- 6* e^(4-x^2-0,25x^4-9) +2λ=0


Danach wird es mir zu komplex und ich komme nicht richtig weiter, da ich beim einsetzten die Variablen nicht wegbekommen habe...

Answer 1

du kannst Zeit sparen, indem du geschickt verkürzt mit Determinanten:

Sei \(f(x)=e^{4-x^2-y^2}\) und \(g(x)=x^2+2y-6\). Berechne nun:$$\begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix}\stackrel{!}{=}0$$ Du hast also:$$\begin{vmatrix} -2x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4}& 2x \\ -2y\mathrm{e}^{-y^2-x^2+4} &2 \end{vmatrix}\overset{(*)}=(-2y\mathrm{e}^{-y^2-x^2+4})\cdot 2x-(-2x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4})\cdot 2=0$$ Bei \((*)\) wurde die Regel von Sarrus verwendet:$$-{4x\mathrm{e}^{-y^2-x^2+4}}y+{4x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4}}=0$$ Du kannst jetzt \(4x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4}\) ausklammern:$$4x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4}(-y+1)=0$$ Dann hast du \(y=1\) nach dem Satz vom Nullprodukt und \(0=x^2+2y-6 \Longleftrightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt[]{-2y+6}=\pm 2\)

Comments

Zunächst einmal danke racine_carée für deine Antwort. Das Ding ist wir müssen das Ganze mit Lagrange lösen :-/

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Das ist "Lagrange in disguise" :-)

$$\begin{aligned}L &= f + \lambda g \\ L_x &= f_x + \lambda g_x = 0 && \left| \cdot g_y\right. \\ L_y &= f_y + \lambda g_y = 0 && \left| \cdot g_x\right. \end{aligned}$$$$\Longrightarrow f_x g_y - f_y g_x = 0  \Longleftrightarrow \begin{vmatrix} f_x & g_{ x} \\ f_y & g_{ y} \end{vmatrix}=0$$

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Alles klar. Danke dir :-)

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Verstehst du die Herleitung...?

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Die Methode nach Sarrus ist ersichtlich, aber nicht die Herleitung.

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Das ist im Prinzip das, was du wahrscheinlich immer machst, nur halt im  Allgemeinen... Siehst du das?

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Ich verstehe es schon von der Rechnung her, aber nicht wieso du oben L_x mit  g_y multiplizierst und die nächste Zeile ebenso mit g_x

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Um die Gleichungen voneinander abziehen zu können (kannst du vorher auch, bringen tut das aber nicht viel).

Answer 2

hab es auch mal berechnet, vielleicht  ist dieser Weg für Dich ?

Comments

Das ist wohl der konventionellere Weg - der Rechenaufwand ist halt höher.

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Umständlich hat aber geholfen. Danke dir =)