0 Daumen
2,2k Aufrufe

Seien p1 , ..., pr paarweise verschiedene Primzahlen. Beweise, dass log p1, ..., log pr über ℚ linear unabhängig sind.

Hinweis: Primfaktorzerlegung ! Kenntnisse über Logarithmusfunktionen anwenden !

 

Ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht. Würde mich über Hilfe freuen.

 

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort


der Missing Link ist, dass für Logarithmen gilt:

\( \log ( x ) + \log ( y ) = \log (xy) \).

Die Gleichung \( \log(x) = c \log(y) \) für zwei gegebene verschiedene Primzahlen \( x, y \) hat in \( \mathbb{Q} \) keine Lösung (keine Lösung \( c \)), da

\( c = \frac{\log(x)}{\log(y)} = \log_{y} (x) \)

irrational ist.

MfG

Mister
Avatar von 8,9 k

Danke für die Antwort.

Aber ich verstehe nicht so ganz. Ist  jetz log p1, ..., log pr linear unabhängig? Wenn ja, wie kommst du drauf?

Danke

Ja, sie sind linear unabhängig, aber nur als \( \mathbb{Q} \)-Vektorraum betrachtet. Mit Koeffizienten in \( \mathbb{R} \) sind sie trivialerweise nicht linear unabhängig.

Der Grund ist, dass \( c = \frac{\log(x)}{\log(y)} = \log_{y} (x) \) irrational ist (für zwei Primzahlen \( x \) und \( y \)). Dieser letzte Schritt muss eigentlich noch bewiesen werden.
Kann ich für den Beweis irgendwelche Primzahlen für x und y einsetzen?

Was muss dann am Ende rauskommen?


Tut mir Leid, wenn ich zu blöde Fragen stelle. Ich stehe in diesem Themengebiet einfach auf wackligen Füßen.

Danke für deine Hilfe.
Die Aussage ist ja: Die rationale Potenz einer Primzahl kann keine andere Primzahl ergeben:

\( x \neq y^{\frac{p}{q}} \) für alle \( \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \).

Beweis (durch Widerspruch): Gelte \( x = y^{\frac{p}{q}} \) für zwei Primzahlen \(x, y\) und \( \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \). Exponentiation zum Exponenten \( q \) ergibt

\( x^q = y^p \).

Das heißt die Aussage gilt nur für \( x = y \) und \( p = q \) oder \( x = y = 1 \) und \(p, q\) beliebig, nicht aber für \( x \neq y \). Die Aussage \( x^q = y^p \) ist ein Widerspruch zur zweckmäßigen Voraussetzung \( x \neq y \).
0 Daumen
Das hört sich exakt so an wie unsere LAG Aufgaben in Mainz diese Woche :D
Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community