Beweise lineare Unabhängigkeit

Question

Seien p₁ , ..., p_r paarweise verschiedene Primzahlen. Beweise, dass log p₁, ..., log p_r über ℚ linear unabhängig sind.

Hinweis: Primfaktorzerlegung ! Kenntnisse über Logarithmusfunktionen anwenden !

 

Ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht. Würde mich über Hilfe freuen.

 

Answer 1

der Missing Link ist, dass für Logarithmen gilt:

\( \log ( x ) + \log ( y ) = \log (xy) \).

Die Gleichung \( \log(x) = c \log(y) \) für zwei gegebene verschiedene Primzahlen \( x, y \) hat in \( \mathbb{Q} \) keine Lösung (keine Lösung \( c \)), da

\( c = \frac{\log(x)}{\log(y)} = \log_{y} (x) \)

irrational ist.

MfG

Mister

Comments

Danke für die Antwort.

Aber ich verstehe nicht so ganz. Ist  jetz log p₁, ..., log p_r linear unabhängig? Wenn ja, wie kommst du drauf?

Danke

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Ja, sie sind linear unabhängig, aber nur als \( \mathbb{Q} \)-Vektorraum betrachtet. Mit Koeffizienten in \( \mathbb{R} \) sind sie trivialerweise nicht linear unabhängig.

Der Grund ist, dass \( c = \frac{\log(x)}{\log(y)} = \log_{y} (x) \) irrational ist (für zwei Primzahlen \( x \) und \( y \)). Dieser letzte Schritt muss eigentlich noch bewiesen werden.

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Kann ich für den Beweis irgendwelche Primzahlen für x und y einsetzen?

Was muss dann am Ende rauskommen?


Tut mir Leid, wenn ich zu blöde Fragen stelle. Ich stehe in diesem Themengebiet einfach auf wackligen Füßen.

Danke für deine Hilfe.

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Die Aussage ist ja: Die rationale Potenz einer Primzahl kann keine andere Primzahl ergeben:

\( x \neq y^{\frac{p}{q}} \) für alle \( \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \).

Beweis (durch Widerspruch): Gelte \( x = y^{\frac{p}{q}} \) für zwei Primzahlen \(x, y\) und \( \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \). Exponentiation zum Exponenten \( q \) ergibt

\( x^q = y^p \).

Das heißt die Aussage gilt nur für \( x = y \) und \( p = q \) oder \( x = y = 1 \) und \(p, q\) beliebig, nicht aber für \( x \neq y \). Die Aussage \( x^q = y^p \) ist ein Widerspruch zur zweckmäßigen Voraussetzung \( x \neq y \).

Answer 2

Das hört sich exakt so an wie unsere LAG Aufgaben in Mainz diese Woche :D