Finde Funktion, die die Summe der Quadrate der Abstände eines Punktes von drei gegebenen Punken beschreibt

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich habe absolut keine Ahnung. Ich hatte die Funktion f aufgestellt mit

f(x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃) = (x₁-xs)² + (x₂-xs) + (x₃-xs)² + (y₁-ys)²+ (y₂-ys)²+ (y₃-ys)².

Aber damit weiterzurechnen führt zu nicht viel. Ich weiß auch gar nicht, ob die Funktion xs und ys überhaupt zurückgibt, das war nur mein erster Gedanke. Ich finde leider auch nichts ähnliches und ich glaube, ich stehe einfach nur aufm Schlauch und die Antwort ist nicht zu kompliziert.

Freue mich über jegliche Denkanstöße/Lösungsansätze!

Answer 1

d(x, y) = ([x, y] - [a, b])^2 + ([x, y] - [c, d])^2 + ([x, y] - [e, f])^2

d(x, y) = 3·x^2 - 2·a·x - 2·c·x - 2·e·x + 3·y^2 - 2·b·y - 2·d·y - 2·f·y + a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2

d'(x, y) = [6·x - 2·a - 2·c - 2·e, 6·y - 2·b - 2·d - 2·f] = [0, 0]

x = 1/3·(a + c + e) ∧ y = 1/3·(b + d + f)

Das ist nun aber genau der Schwerpunkt der drei Punkte.

Answer 2

Deine Funktion muss lauten:

f(x_s,  y_s) = (x₁-x_s)² + (x₂-x_s)² + (x₃-x_s)² + (y₁-y_s)²+ (y₂-y_s)²+ (y₃-y_s)².

und dann die partiellen Ableitungen nach x_s und y_s bilden.

Comments

Und wie führt man mit den Ableitungen dann eine Extremwertberechnung durch ?

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Du setzt alle partiellen Ableitungen gleich Null und löst dann das entstandene Gleichungssystem.

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Ja, die Ableitungen nach xs und ys von der Funktion von Woodoo hatten bei mir aber irgendwie mehr Unbekannte als Gleichungen.

Die Funktion, die du geschrieben hast mit den eckigen Klammern ist doch im Prinzip das selbe oder?

Ich kam auf 2*(3*x-c-b-a) nach x und 2*(3*y-h-g-f) nach y.

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Oh, zu spät hab meinen "Fehler" gefunden. Was meinst du aber mit "Das ist nun aber genau der Schwerpunkt der drei Punkte."?

LG

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x = 1/3·(a + c + e) ∧ y = 1/3·(b + d + f)

 x ist der Mittelwert der x-Koordinaten und y der Mittelwert der y-Koordinaten. Weißt du wie man den Schwerpunkt eines Dreiecks bestimmt? 

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Ich habe noch nie den Schwerpunkt eines Dreiecks bestimmt, geschweige denn davon gehört. Man lernt immer wieder neues! ^^

LG