Variation der Konstanten

Question

Kann mir jemand erklären wie es geht?

ich muss folgenden inhomogenen Differentialgleichungen durch Variation der Konstanten lösen

ich verstehe nicht wie es geht, kann mir jemand auf eine Beispiel erklären?

Vielen Dank im Voraus

y′ + 2xy = 6x

y′ + (1/x)y = 6x

y'−(1/(2x+2))y=(x+1)^(3/2)    {y(1)=4}

Answer 1

Mußt du die Aufgaben wirklich mittels Variation der Konstanten lösen?

y′ + 2xy = 6x kann durch Trennung der Variablen gelöst werden.

y′ + 2xy = 6x |-2xy

y′  = 6x -2xy

y'= x(6-2y)

dy/dx=  x(6-2y)

dy/(6-2y)= x+C

- (ln |6-2y| )/2 =x^2/2 +C

....

y=C₁ e^(-x^2) +3

die 2. und 3 .Aufgabe ist dann Variation der Konstanten.

Comments

ja, ich muss durch Variation der Konstanten lösen

aber :)

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geht gleich weiter

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y′ + 2xy = 6x

1.)homogene Gleichung:

y′ + 2xy = 0 ---->Trennung der Variablen

y'= -2xy

dy/dx= -2xy

dy/y= -2x

ln|y|= -x^2+C | e hoch

|y| = e^(-x^2+C) =e^(-x^2) *e^c

y=e^(-x^2) * ±e^c

y_h=e^(-x^2) * C₁

_{2.)C1= C(x)}

_{yp= C(x) e^(-x^2)} 

_{yp'= C'(x) e^(-x^2)  - 2C(x) *x e^(-x^2)}

_{3.) yp und yp' eingesetzt in die DGL:}

_{C'(x) =e^(-x^2)= 6x}

_{C'(x)=6x *e^(x^2)}

_{C(x)=3 e^(x^2)}

_{4.)yp= C(x) e^(-x^2) =3 e^(x^2) *e^(-x^2)}

_yp=3

_{5.) y=yh+yp= C1 e^(-x^2) +3}

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wie hast du das raus bekommen ?

C'(x) =e^(-x2)= 6x

=>. C'(x)=6x *e^(x2)

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Ich habe yp und yp' eingesetzt in die DGL:

yp= C(x) e^(-x2) 

yp'= C'(x) e^(-x2)  - 2C(x) *x e^(-x2)

der Anteil mit C(x) fällt weg.

C'(x) =e^(-x2)= 6x

e^(-x2)= 1/e^(x^2)

--------->

C'(x)=6x *e^(x2)