Variation der Konstanten y' = x-y

Question

Aufgabe: Wie kann ich hier die Differentialgleichung lösen?

Text erkannt:

7. \( y^{\prime}=x-y \)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Variation der Konstanten angewendet, aber komme beim zweiten Schritt nicht weiter, weil sich K nicht rauskürzen lässt.

Answer 1

Hallo,

Ich habe die Variation der Konstanten angewendet ->das ist richtig

Nachtrag:

Du mußt es immer so machen , wie der Prof es will, bzw. die Aufgabe es verlangt.

Wenn die rechte Seite umfangreicher ist, wird auch die Rechnung länger.

Verrechnen kann man dann auch mit diesem Verfahren.

Answer 2

Hier hast du es wieder mit einer linearen DGL zu tun:$$y' + y =x$$Solche DGLn haben immer die gleiche Lössungsstruktur:

Du bestimmst die allgemeine Lösung \(y_h\) der sogenannten homogenen Gleichung:$$y_h'+y_h = \color{blue}{0}$$
Das ist schnell gelöst:$$\Rightarrow y_h = Ce^{-x}$$Nun brauchst du nur noch eine einzige spezielle Lösung \(y_p\)  der inhomogenen DGL (auch partikuläre Lösung genannt):$$y_p'+y_p = x$$Da auf der rechten Seite nur \(x\) steht, kannst du statt Variation der Konstanten für \(y_p\) einfach eine lineare Funktion ansetzen:

\(y_p = ax+b\)

Einsetzen in die DGL:

\(\Rightarrow a+(ax+b) = ax + (a+b)\stackrel{!}{=}x\)

\(\Rightarrow a=1, b=-1\)

\(\Rightarrow y_p = x-1\) ist eine spezielle Lösung. Das ist viel einfacher und weniger fehleranfällig als Variation der Konstanten.

Nun addierst du \(y_h\) und \(y_p\) und bist fertig und erhältst die allgemeine Lösung der DGL:$$y=y_h + y_p = Ce^{-x}+x-1$$