Du hast es hier mit einer sogenannten linearen DGL zu tun:
$$y' + y =1$$
Solche DGLn haben immer die gleiche Lössungsstruktur:
Du bestimmst die allgemeine Lösung \(y_h\) der sogenannten homogenen Gleichung:
$$y_h'+y_h = \color{blue}{0}$$
Das ist schnell gelöst:
$$\Rightarrow y_h = Ce^{-x}$$
Nun brauchst du nur noch eine einzige spezielle Lösung \(y_p\) der inhomogenen DGL (auch partikuläre Lösung genannt):
$$y_p'+y_p = 1$$
Hier ist offenbar \(y_p = 1\) eine Lösung.
Nun addierst du \(y_h\) und \(y_p\) und bist fertig und erhältst die allgemeine Lösung der DGL:
$$y=y_h + y_p = Ce^{-x}+1$$