Wie kann ich die Differentialgleichung lösen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

5. \( y^{\prime}+y=1 \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Differentialgleichung lösen?

Answer 1

Hallo,

Lösung via Trennung der Variablen:

da bei der Division eine Lösung verloren geht , gilt:

1-y=0(beim linken Integral)

y=1 ist auch eine Lösung der DGL.

23:20

Answer 2

Du hast es hier mit einer sogenannten linearen DGL zu tun:

$$y' + y =1$$

Solche DGLn haben immer die gleiche Lössungsstruktur:

Du bestimmst die allgemeine Lösung \(y_h\) der sogenannten homogenen Gleichung:
$$y_h'+y_h = \color{blue}{0}$$

Das ist schnell gelöst:

$$\Rightarrow y_h = Ce^{-x}$$

Nun brauchst du nur noch eine einzige spezielle Lösung \(y_p\)  der inhomogenen DGL (auch partikuläre Lösung genannt):

$$y_p'+y_p = 1$$

Hier ist offenbar \(y_p = 1\) eine Lösung.

Nun addierst du \(y_h\) und \(y_p\) und bist fertig und erhältst die allgemeine Lösung der DGL:

$$y=y_h + y_p = Ce^{-x}+1$$