Konvergiert die folgende Reihe?

Question

Zeige: ist \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \) eine konvergente Reihe, dann konvergiert auch die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n} \).

Es wäre toll, wenn mir jemand den Rechenweg aufschreiben würde.

Answer 1

Wir können annehmen, dass \(a_n\geq 0\) gilt; denn wenn \(\sum\frac{a_n}{n}\) absolut konvergiert,
konvergiert diese Reihe auch im üblichen Sinne.
Nun ist \(\; (a_n-\frac{1}{n})^2\leq a_n^2+\frac{1}{n^2}\),
also \(\sum (a_n^2+\frac{1}{n^2})\) eine Majorante von \(\sum (a_n-\frac{1}{n})^2\).
Diese Majorante ist konvergent, da sie die Summe der beiden
konvergenten Reihen \(\sum a_n^2\) und \(\sum\frac{1}{n^2}\) ist.
Wegen \(\sum(a_n-\frac{1}{n})^2=\sum a_n^2-2\sum\frac{a_n}{n}+\sum\frac{1}{n^2}\),

folgt die Konvergenz der mittleren Summe \(\sum\frac{a_n}{n}\) aus der Konvergenz
der ersten und dritten Summe und der Konvergenz der Gesamtsumme:

\(\sum\frac{a_n}{n}=\frac{1}{2}\cdot(\sum a_n^2+\sum\frac {1}{n^2}-\sum(a_n-\frac{1}{n})^2)\)