Aufgabe:
Gegeben Sei das folgende lineare Gleichungssystem
\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 2 & 4,5 & 0,36 \\ 5 & 0,96 & 6,5 \end{pmatrix} \) * \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} = \( \begin{pmatrix} 6\\0,02\\0,96 \end{pmatrix} \)
Berechne die Lösung durch LR-Zerlegung unter Angabe aller Zwischenschritte. Verwende dabei nur dezimale Gleitkommazahlen mit der Mantissenlänge M= 3. Du musst also nach jeder Operation durch korrektes Runden auf 3 Mantissenziffern runden.Vergleichen die die Ergebnisse der LR-Zerlegung mit der exakten Lösung per Gauß-Verfahren).Hinweis: Du musst “auf 3 Mantissenziffern runden”, dies bedeutet: Du stellst Zahl als Dezimalzahlbruch der Form(0, d−1d−2d−3d−4. . .)·10k mit d−1 ≠ 0 dar. Dann rundest du die Ziffer d−3 der Mantisse anhand des Wertes von d−4. Zum Beispiel ist rd(0,00123567) = rd(0,123567·10−3)
rd(6,5) =rd(0,6500·101)= 0,00124= 6,50
Interessanterweise ist rd(9,999) =rd(0,9999·101) = 10,
Problem/Ansatz:
LR-Zerlegung
\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 2 & 4,5 & 0,36 \\ 5 & 0,96 & 6,5 \end{pmatrix} \)
Jetzt substrahiere ich 4 mal die 1. Zeile von der. 2 Zeile
\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12,04 \\ 5 & 0,96 & 6,5 \end{pmatrix} \)
Danach wird gerundet
rd (-12,04) = rd (0,1204 * 10²)
= - 12
=> neue Matrix
\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 5 & 0,96 & 6,5 \end{pmatrix} \)
Jetzt substrahiere ich 10 mal die 1. Zeile von der 3. Zeile
\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 0 & -10.04 & -24,5 \end{pmatrix} \)
Dann pass ich die Rundungen wieder den Vorschriften des Profs an:
rd (-10,04) = rd (-0,1004 * 10²)
= - 10
rd (-24,5) = rd (-0,245* 10 ²)
= -24,5
Die an die Rundungen angepasste Matrix ist dann
\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 0 & -10 & -24,5 \end{pmatrix} \)
Jetzt addiere ich 100 mal die 2. Zeile zu der 3. Zeile
\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 0 & 0 & -1224,5 \end{pmatrix} \)
Da mich die Aufgabenstellung zwingt, auf das 3. Bit nach der Mantisse zu runden, mach ich jetzt wieder
rd (-1224,5) = rd (0,12245 * 104 )
= -122
Daraus ergibt sich dann folgende Matrix
\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 0 & 0 & -122 \end{pmatrix} \)
Und mittels LR-Zerlegung wäre der ganze Spaß dann
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ -10 & -100 & 1 \end{pmatrix} \)
Und das kann nicht sein, weil das passt nicht mehr zum Linearen Gleichungsystem. Wenn man das LGS mit Gauß-Verfahren löst, kommt da was ganz anderes raus.