LR-Zerlegung mit Rundung nach 3 Stellen

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei das folgende lineare Gleichungssystem

\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 2 & 4,5 & 0,36 \\ 5 & 0,96 & 6,5 \end{pmatrix} \) *  \begin{pmatrix} x₁\\x₂\\x₃ \end{pmatrix} = \( \begin{pmatrix} 6\\0,02\\0,96 \end{pmatrix} \)

Berechne die Lösung durch LR-Zerlegung unter Angabe aller Zwischenschritte. Verwende dabei nur dezimale Gleitkommazahlen mit der Mantissenlänge M= 3. Du musst also nach jeder Operation durch korrektes Runden auf 3 Mantissenziffern runden.Vergleichen die die Ergebnisse der LR-Zerlegung mit der exakten Lösung per Gauß-Verfahren).Hinweis: Du musst “auf 3 Mantissenziffern runden”, dies bedeutet: Du stellst Zahl als Dezimalzahlbruch der Form(0, d₋₁d−₂d−₃d−₄. . .)·10^k mit d−₁ ≠ 0 dar. Dann rundest du die Ziffer d₋₃ der Mantisse anhand des Wertes von d₋₄. Zum Beispiel ist rd(0,00123567) = rd(0,123567·10⁻³)

rd(6,5) =rd(0,6500·10¹)= 0,00124= 6,50

Interessanterweise ist rd(9,999) =rd(0,9999·10¹) = 10,

Problem/Ansatz:

LR-Zerlegung

\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 2 & 4,5 & 0,36 \\ 5 & 0,96 & 6,5 \end{pmatrix} \)

Jetzt substrahiere ich 4 mal die 1. Zeile von der. 2 Zeile

\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12,04 \\ 5 & 0,96 & 6,5 \end{pmatrix} \)

Danach wird gerundet

rd (-12,04) = rd (0,1204 * 10²)

= - 12

=> neue Matrix

\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 5 & 0,96 & 6,5 \end{pmatrix} \)

Jetzt substrahiere ich 10 mal die 1. Zeile von der 3. Zeile

\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 0 & -10.04 & -24,5 \end{pmatrix} \)

Dann pass ich die Rundungen wieder den Vorschriften des Profs an:

rd (-10,04) = rd (-0,1004 * 10²)

                  = - 10

rd (-24,5) = rd (-0,245* 10 ²)

               = -24,5

Die an die Rundungen angepasste Matrix ist dann

\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 0 & -10 & -24,5 \end{pmatrix} \)

Jetzt addiere ich 100 mal die 2. Zeile zu der 3. Zeile

\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 0 & 0 & -1224,5 \end{pmatrix} \)

Da mich die Aufgabenstellung zwingt, auf das 3. Bit nach der Mantisse zu runden, mach ich jetzt wieder

rd (-1224,5) = rd (0,12245 * 10⁴ )

= -122

Daraus ergibt sich dann folgende Matrix

\( \begin{pmatrix} 0,5 & 1,1 & 3,1 \\ 0 & 0,1 & -12 \\ 0 & 0 & -122 \end{pmatrix} \)

Und mittels LR-Zerlegung wäre der ganze Spaß dann

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ -10 & -100 & 1 \end{pmatrix} \)

Und das kann nicht sein, weil das passt nicht mehr zum Linearen Gleichungsystem. Wenn man das LGS mit Gauß-Verfahren löst, kommt da was ganz anderes raus.

Answer 1

Ich bin mir bezüglich der Umsetzung der Rundung nicht ganz sicher - in GeoGebra mit 3 signifikanten Ziffern komm ich auf

\(\small   \left(\begin{array}{rrr}1.00&0.00&0.00\\4.00&1.00&0.00\\10.0&-100&1.00\\\end{array}\right)  \left(\begin{array}{rrr}0.500&1.10&3.10\\0.00&0.100&-12.0\\0.00&0.00&-1230\\\end{array}\right)  \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right)  =  \left(\begin{array}{r}6.00\\0.0200\\0.960\\\end{array}\right)   \)

\(\small   \left(\begin{array}{rrr}1.00&0.00&0.00\\4.00&1.00&0.00\\10.0&-100&1.00\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y1\\y2\\y3\\\end{array}\right)  =  \left(\begin{array}{r}6.00\\0.0200\\0.960\\\end{array}\right)    \)

===>

\(\small \left(\begin{array}{r}y1\\y2\\y3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}6.00\\-24.0\\-2470\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small   \left(\begin{array}{rrr}0.500&1.10&3.10\\0.00&0.100&-12.0\\0.00&0.00&-1230\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}6.00\\-24.0\\-2470\\\end{array}\right)   \)

===>

\( \small    \left\{ x1 = -2.60, x2 = 1.00, x3 = 2.00 \right\}     \)

Comments

Danke Wärter für die ausführliche Lösung. :)

Kannst du vielleicht noch erklären, wie mdu für y3 auf -2470 gekommen bist?

Weil 10 * y₁ - 100 y₂ + y₃ = 0,96

10 * 6 - 100 * (-24) + y3= 0,96

2460 + y₃ = 0,96

y3 = 2459,04

Und rd (-2459,04) wäre gerundet rd (0,245904) = rd (-2460) und nicht (-2470)

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bzw. was mich mehr verwirrt: Im letzten Schritt

x₃ = 2.

Setzt man das in die Gleichung II ein, steht da

0,1 x₂ - 12 x₃ = -24.0

Wäre:

0,1 x₂ - 12*(2) = - 24.0

0,1 x₂ - 24 = - 24.0

Und das kann nicht sein.

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Hm,

ohne Rundung erhalten ich

\(\small \left(\begin{array}{r}y1\\y2\\y3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}6\\-23.98\\-2466.632\\\end{array}\right)\)

ich hab auch nicht jeden einzelnen Rechenschritt überprüft - ich hab wie gesagt 3 sign. Figures als Rundungsmodell eingestellt und GGB schaffen lassen..

Ich lade das Worksheet mal hoch - schau Dirs an?

https://www.geogebra.org/m/jxvhp4hp

Ich bin mir nicht sicher was genau eine globale Einstellung auf 3 sign. Figures bewirkt - wie und an welchen Stellen gerundet wird (abgeschnitten wird) - es sieht so aus, als ob nach den als "signifikant gesetzten Ziffern" doch noch was mitkommt - ggf. müsste man jede Rechenzeile explizit runden

z.B. statt ((L3 L2 L1) b) ===> Numeric((L3 L2 L1) b,3)

was dann auf Dein Ergebnis führt...

Die Probe mit meiner Lösung geht aber auf....

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Du hast bei Deiner Rundungsarithmetik ein paar Klopse drin

rd(0,00123567) = rd(0,123567·10⁻³)  ?  ===> 0.123567 10^-2 =0.00124!

usw..