inhomogene DGL 2. Ordnung mit Euler

Question

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden EULERschen DGL.

(Hinweis: Verwenden Sie die Transformation x= e^t und Ansatzmethode)

x^2 y'' -5xy' +8y= x ln(x)

Gesucht ist also die Allgemeine Lösung. Probleme bereitet mir der zweite Schritt, also die Partikuläre Gleichung.

Also mein Ansatz:

Subst. : x = e^t =y(t) ; t=lnx

y'(t)=y'(t)*t'(x) = y'(t)*1/x

y''(t)=y''(t)*1/x*1/x+y'(t)*(-1/x^2)

       = 1/x^2 +(y''(t)-y'(t))

Einsetzen von y,y',y'' in DGL:

x^2*[1/x^2*(y''(t)-y'/t)] - 5x*[y'(t)*1/x]+8y(t) =t*e^t

= y''(t)-6y'(t)+8y(t) = t*e^t

1) jetzt die allg. Lösung der homogenen DGL:

y''(t)-6y'(t)+8y(t) = 0    ->  x^2-6x+8 = 0     -> x1= 4 ; x2 = 2

yh(t) = C1*e^(4t)+C2*e^(2t)  bzw. yh(x) = C1*x^4+C2*x^2

2) Partikuläre DGL:

Ansatz: f(t)=t*e^t=yp(t)*e^(c*t) mit c= 1

yp(t) =(A*t+B)*e^t

yp'(t)=(At+B+A)e^t

yp''(t)=At+B+2A)e^t

Einsetzen in die DGL:

(e^t)^2*[(At+B+2A)e^t-5e^t*[(At+B+A)e^t]+8*[(A*t+B)*e^t ]=t*e^t

Answer 1

Hallo

du musst doch in   y''(t)-6y'(t)+8y(t) = t*et einsetzen

 da hat das e^2t nichts zu suchen  ebensowenig die 5e^t und die e^t am Ende?

 du bringst das gründlich mit der Dgl noch für x durcheinander- richtig ist:

  At+B+2A)e^t-6*(At+B+A)*e^t+8*(At+B)e^t=t*e^t

 alls Faktoren ohne t=0 alle mit t=1 setzen, und du hast A und B

 der homogene Teil ist ok.

Gruß lul

Answer 2

Probleme bereitet mir der zweite Schritt, also die Partikuläre Gleichung.

das geht mittels Wronski Determinante:W(x) (sollte in der Vorlesung behandelt worden sein)

falls behandelt

yp= v₁*yb₁+v₂*yb₂

_yb1=x^2

_yb2=x^4

_{f(x)= (x*ln(x)) /x^2 =ln(x)/x}

_{W(x)=  | x^2    x^4   |}

            _{|2x     4x^3|             =2x^5}

_{v1(x)= - ∫(f(x) *yb2) /W(x)     dx}

_{v2(x)=  ∫(f(x) *yb1) /W(x)     dx}

_{yp= x/9 (3 ln|x|+4|}

_{Lösung : y=yh +yp}