Schnittpunkt von 3 Geraden in ℙ^n (n-dimensionaler projektiver Raum)

Question

ich brauche mal wieder eure Hilfe in Geometrie.  Meine Aufgabe lautet wie folgt:

Zeigen Sie: Sind A, B und C drei Geraden in ℙⁿ, die sich paarweise in mindestens einem Punkt schneiden, dann besitzen A, B und C einen gemeinsamen Schnittpunkt oder liegen in einer Ebene.

Wir haben in der Übung bereits gezeigt, dass zwei Gerade sich in ℙⁿ mindestens in einem Punkt schneiden.  Kann mir jemand weiterhelfen und sagen, wie ich nun zeigen kann dass drei Gerade einen gemeinsamen Schnittpunkt haben oder in einer Ebene liegen?

Dankeschön schon mal für eure Hilfe!

Eure Lisl

Comments

Willst du noch kurz erklären, was mit ℙ^{n} gemeint ist und wie Geraden in ℙ^{n} definiert sind?

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Oh ja klar das hab ich voll vergessen.

ℝⁿ⁺¹ ⊃l Urspurngsgerade = 1 dimensionaler Unterraum wobei ℝⁿ⁺¹ = V ein Vektorraum eingeschränkt auf ℝ ist. Es ist

ℙⁿ(v)=ℙⁿ(ℝⁿ⁺¹)=ℙ(ℝⁿ⁺¹)

ℙⁿ(v)= P(V):={l ⊂ V= ℝⁿ⁺¹ | l Ursprungsgerade} heißt n-dimensionaler projektiver Raum

Außerdem ist ℙⁿ={[x₀ : ... : x_n]| (x₀,...,x_n)∈ℝⁿ⁺¹\{0}}

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Dass sich zwei Gerade in ℙⁿ in mindestens einem Punkt schneiden zeigt man so

Die Aussage ist nur für n= 2 richtig, für n >2 hingegen nicht mehr. Ist nämlich    n >3 und e₀,...,e_n die Standardbasis, dann sind A:=P(⟨e₀,e₁⟩) und B:=P(⟨e₂,e₃⟩) zwei Geraden in ℙⁿ mit A∩B=P(⟨e₀,e₁⟩∩⟨e₂,e₃⟩) =P({0}) =∅.

Wie zeige ich das jetzt für drei Geraden?