Zeigen Sie, dass die Modellfunktion b(t)=80-60*0,5^t (t ∈ ℝ, t <0) der Anfangsbedinung und den Modellannahmen entspricht

Question

In den Teich eines Botanischen Gartens werden 20 Kop-Karpfen ausgesetzt, Die Anzahl der Koi, in Abhänigkeit von der Zeit t (in Jahren seit dem Aussetzen) werden durch die Modellfunktion b beschrieben

Der Modellfunktion liegen folgenden Annahmen zu Grunde:
-Die Maximalanzahl, die sich einstellen wird, ist S=80
-Der jährliche Zuwachs b(t+1)-b(t) ist proportinal zu der Differenz [S-b(t)] am Beginn eines Jahres.

Zeigen Sie, dass die Modellfunktion b(t)=80-60*0,5^t (t ∈ ℝ, t <0) der Anfangsbedinung und den Modellannahmen entspricht (ohne Taschenrechner.)

Answer 1

b(t) = 80 - 60·0.5^t

- Der Anfangsbestand sind 20 Koi

b(0) = 20 stimmt 

- Die Maximalanzahl, die sich einstellen wird, ist S=80

lim t→∞ b(t) = 80 stimmt

- Der jährliche Zuwachs b(t+1) - b(t) ist proportinal zu der Differenz [S - b(t)] am Beginn eines Jahres.

b(t+1) - b(t) ~ S - b(t)
80 - 60·0.5^{t+1} - (80 - 60·0.5^t) ~ 80 - (80 - 60·0.5^t)
80 - 60·0.5^{t+1} - 80 + 60·0.5^t ~ 80 - 80 + 60·0.5^t
- 60·0.5^{t+1} + 60·0.5^t ~ 60·0.5^t
60·0.5^t - 60·0.5^t·0.5 ~ 60·0.5^t
60·0.5^t·(1 - 0.5) ~ 60·0.5^t

stimmt.