Lösung a) a(n)=a(n-1)+3*a(n-2)+(n + 1)*3^n {falsch abgeschrieben -> also nicht beachten}
Analog zu https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Formel_von_Moivre-Binet kommt man zu
a(n) = a*(1/2 (1 - sqrt(13)))^n + b*(1/2 (1 + sqrt(13)))^n + 3^(n + 1)*n - 2*3^(n + 1)
negative Basis mit (-1)^n = Cos[n*Pi] eliminieren:
f(n) = (1/2 + sqrt(13)/2)^n b - 2 3^(n + 1) + 3^(n + 1) n + (sqrt(13)/2-1/2)^n a cos(n*Pi), f(2) = 31, f(3) = 142
in 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten lösen...
Der Iterationsrechner bestätigt die Richtigkeit der Lösung { x^y = pow(x,y) }:
pow(1/2+sqrt(13)/2,x)*(7/2+sqrt(13)/2)-2*pow(3,x+1)+pow(3,x+1)*x+pow(sqrt(13)/2-1/2,x)*(7/2-sqrt(13)/2)*cos(x*PI)
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#@P1/2+@Q13)/2,x)*(7/2+@Q13)/2)-2*@P3,x+1)+@P3,x+1)*x+@P@Q13)/2-1/2,x)*(7/2-@Q13)/2)*cos(x*PI)@Na=1;@N@Bi]=Fx(i);@Ni%3E6@N0@N0@N#
und der Plotter http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm zeigt die weiche (knickfreie) explizite Funktionskurve:
Lösung b) und für negiertes Vorzeichen
a(n)=a(n-1)+3*a(n-2)-(n + 1)*3^n
negiert sich auch nur der
Teil von - 2 3^(n + 1) + 3^(n + 1) n also
f(n) = (1/2 + sqrt(13)/2)^n (7/2 + sqrt(13)/2) - 2 3^(n + 1) + 3^(n + 1) n + (sqrt(13)/2-1/2)^n (7/2 - sqrt(13)/2)*cos(n*Pi)
f(x)=pow(1/2+sqrt(13)/2,x)*(7/2+sqrt(13)/2)-2*pow(3,x+1)+pow(3,x+1)*x+pow(sqrt(13)/2-1/2,x)*(7/2-sqrt(13)/2)*cos(x*PI)
Probe:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#@P1/2+@Q13)/2,x)*(-5/2-11/(2*@Q13)))+2*@P3,x+1)-@P3,x+1)*x+@P@Q13)/2-1/2,x)*(11/(2*@Q13))-5/2)*cos(x*PI)@Na=1;@N@Bi]=Fx(i);@Ni%3E6@N0@N0@N#
x | f(x)
0 1
1 1
2 -23
3 -128
4 -602
5 -2444
6 -9353