Geschlossene Formel für eine Potenzreihe berechnen

Question

Aufgabe:

Bestimme einen geschlossenen Ausdruck für die erzeugende Potenzreihe A(x)
der Folge, gegeben durch die Rekursionsgleichung

a_n − a_n−1 − 3a_n−2 + (n + 1)3ⁿ = 0, für n ≥ 2

mit den Anfangswerten a₀ = 1 und a₁ = 1. (Partialbruchzerlegung und Reihenentwicklung
ist nicht erforderlich).     

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich den geschlossenen Ausdruck für die Potenzreihe die vorgegeben ist?

Comments

Warum genau ist das überhaupt eine Potenzreihe? Kennst du dazu einen formalen Hintergrund?

Zur Aufgabe:

Du könntest zuerst mal ein paar Folgenglieder berechnen.

a_{n} − a_{n−1} − 3a_{n−2} + (n + 1)3^{n} = 0, für n ≥ 2

bedeutet.

a_{n} = a_{n−1} + 3a_{n−2} - (n + 1)3^{n} = 0, a0 = 1 und a1 = 1

a_2 = 1 + 3 - 3*3^2 = 4 - 27 = -23

oder  = 1 + 3 - 3*3^2 = 1 + 3(1- 3^2) = 1 - 3*8 = -23

a_3 = ?

a_4 = ?

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Müsste nicht a₂=-23 sein?

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@spacko: Wo ist mein Rechenfehler?

Anfangswerte a0 = 1 und a1 = 1.

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Beim Auflösen nach a_n scheint ein Vorzeichenfehler vorzuliegen.

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Danke. Sollte behoben sein.

Answer 1

Lösung a) a(n)=a(n-1)+3*a(n-2)+(n + 1)*3^n {falsch abgeschrieben -> also nicht beachten}

Analog zu https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Formel_von_Moivre-Binet kommt man zu
a(n) = a*(1/2 (1 - sqrt(13)))^n + b*(1/2 (1 + sqrt(13)))^n + 3^(n + 1)*n - 2*3^(n + 1)

negative Basis mit (-1)^n = Cos[n*Pi] eliminieren:

f(n) = (1/2 + sqrt(13)/2)^n b - 2 3^(n + 1) + 3^(n + 1) n + (sqrt(13)/2-1/2)^n a cos(n*Pi), f(2) = 31, f(3) = 142

in 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten lösen...

Der Iterationsrechner bestätigt die Richtigkeit der Lösung { x^y = pow(x,y) }:

pow(1/2+sqrt(13)/2,x)*(7/2+sqrt(13)/2)-2*pow(3,x+1)+pow(3,x+1)*x+pow(sqrt(13)/2-1/2,x)*(7/2-sqrt(13)/2)*cos(x*PI)

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#@P1/2+@Q13)/2,x)*(7/2+@Q13)/2)-2*@P3,x+1)+@P3,x+1)*x+@P@Q13)/2-1/2,x)*(7/2-@Q13)/2)*cos(x*PI)@Na=1;@N@Bi]=Fx(i);@Ni%3E6@N0@N0@N#

und der Plotter http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm zeigt die weiche (knickfreie) explizite Funktionskurve:

Lösung b) und für negiertes Vorzeichen

a(n)=a(n-1)+3*a(n-2)-(n + 1)*3^n

 negiert sich auch nur der

Teil von - 2 3^(n + 1) + 3^(n + 1) n also

f(n) = (1/2 + sqrt(13)/2)^n (7/2 + sqrt(13)/2) - 2 3^(n + 1) + 3^(n + 1) n + (sqrt(13)/2-1/2)^n (7/2 - sqrt(13)/2)*cos(n*Pi)
f(x)=pow(1/2+sqrt(13)/2,x)*(7/2+sqrt(13)/2)-2*pow(3,x+1)+pow(3,x+1)*x+pow(sqrt(13)/2-1/2,x)*(7/2-sqrt(13)/2)*cos(x*PI)

Probe:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#@P1/2+@Q13)/2,x)*(-5/2-11/(2*@Q13)))+2*@P3,x+1)-@P3,x+1)*x+@P@Q13)/2-1/2,x)*(11/(2*@Q13))-5/2)*cos(x*PI)@Na=1;@N@Bi]=Fx(i);@Ni%3E6@N0@N0@N#

x | f(x)

0  1
1  1
2  -23
3  -128
4  -602
5  -2444
6  -9353

Comments

Ich hatte in meinem Kommentar einen Vorzeichenfehler beim Auflösen nach a_n. Sollte inzwischen behoben sein.

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Danke für den Hinweis. Habe das Vorzeichen auch negiert und Lösung b) daraus gemacht.