Zerlegung des Integranden

Question

kann mir bitte einer sagen, welche Methode hierbei genutzt worden ist, um die Integrale umzuschreiben?

Vielen Dank

Answer 1

Ich beziehe mich jetzt nur mal auf die umrandeten Teile.

Beim ersten wird der Faktor (-1) aus dem Nenner ausgeklammert und vor das Integral gezogen

Beim zweiten wird der Faktor 2 aus dem Zähler ausgeklammert und vor das Integral gezogen.

Comments

Ja klar, aber warum wird das gemacht? Welcher Gedanke steckt dahinter?

Vielen Dank

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Beim zweiten ist das klar. Damit bereitest du eine einfache Bruchzerlegung in eine Summe aus einem Polynom und einem Bruch vor. Das hätte man auch mit einer Normalen Polynomdivision machen können. Auch das erste hätte ich persönlich anders gelöst nämlich gleich über die Substitution.

∫(0 bis 1) 4/(2·x - 3) dx

Subst.
u = 2·x - 3
1 du = 2 dx → dx = 1/2 du

∫(-3 bis -1) 4/u 1/2 du

∫(-3 bis -1) 2/u du

∫(-3 bis -1) 2 * 1/u du

[2 * LN(|u|)](-3 bis -1) = 2 * LN(|-1|) - 2 * LN(|-3|) = - 2·LN(3)

Hier kann es also sein, dass man die -1 aus dem Nenner ausgeklammert hat damit man nachher positive Intervallgrenzen hat und man daher einfach LN(u) als Stammfunktion nehmen kann. Muss man aber nicht.

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Das erste konnte ich nachvollziehen, aber warum ist das zweite klar? Hat er da einfach -3+3 gerechnent um einen neuen Bruch zu erhalten?

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-3 + 3 wird gemacht damit ein Teil des Zählers so aussieht wie der Nenner. Damit man eine Bruchzerlegung machen kann

Du kannst auch gleich eine Polynomdivision machen

(4x    ) : (2x - 3)  =  2  Rest  6/(2x - 3)
4x  - 6
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      6

Da braucht man eigentlich nicht den Faktor 2 ausklammern. Das wird dadurch auch nicht einfacher.