Ziehen ohne Zurücklegen

Question

Eine Urne beinhalte 5 weiße und 15 schwarze Kugeln. Man spiele nun folgendes Spiel: Man zieht nacheinander solange Kugeln ohne Zurücklegen, bis man eine schwarze Kugel erwischt; Sobald dies der Fall ist, wird das Spiel beendet.

(a) Sei X die die Zufallsvariable, welche die Anzahl der bei dem Spiel gezogenen weißen
Kugeln angibt. Geben Sie die Verteilung von X an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
gar keine weiße bzw. alle weißen Kugeln zu ziehen?

(b) Wenn man für ein Spiel 2 Euro Einsatz zahlen muss, aber für jede gezogene weiße Kugel 1 Euro

ausgezahlt bekommt, wie hoch ist der zu erwartende Gewinn?

Ich sitze schon etwas länger an der Aufgabe, kann aber keine plausible Lösung abgeben. Würde mich sehr über eure Lösungen freuen!

Comments

X kann Werte aus {0, 1, 2, 3, 4, 5} annehmen. Da das Spiel sofort zu Ende ist, wenn eine schwarze Kugel gezogen wird, sind die Wahrscheinlichkeiten für P(X=k) doch leicht zu ermitteln, oder?

Answer 1

Das könnte wie folgt aussehen:

Comments

Hallo @Der_Mathecoach, ich bedanke mich erstmal für die rasche und anschauliche Antwort. Darf man bei der Bestimmung der Zufallsgröße den Stichprobenumfang verändern? Sonst war es immer so, dass man für alle x_i die gleiche Anzahl n an gezogenen Kugeln betrachtet. Und müssen sich alle P(X = x_i) also nicht zwangsläufig zu 1 aufsummieren? Würde mich echt über deine Antwort hierzu freuen.

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Darf man bei der Bestimmung der Zufallsgröße den Stichprobenumfang verändern?

Man bildet exakt das ab was passiert: Man zieht nacheinander solange Kugeln ohne Zurücklegen, bis man eine schwarze Kugel erwischt.

Ist hierdurch bestimmt wie groß die Menge der Kugeln ist, die man zieht?

Und müssen sich alle P(X = x_i) also nicht zwangsläufig zu 1 aufsummieren?

Ja. Tun sie das nicht?

15/20 + 15/76 + 5/114 + 5/646 + 5/5168 + 1/15504 = 1

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Okay, danke für die Klarstellungen. Eine letzte Frage noch hierzu: Bei der Zufallsvariable X geht es ja lediglich nur um die gezogenen weißen Kugeln. Wieso gibst du neben den Wahrscheinlichkeiten der gezogenen weißen Kugeln immer die Wahrscheinlichkeit der darauffolgenden notwendigen schwarzen Kugeln an? Ich dachte, es geht uns hierbei nur um die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl an weißen Kugeln zu ziehen.

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Die Anzahl der weißen Kugeln steht erst fest nachdem eine schwarze gezogen worden ist. Ansonsten könnte man nach der letzten Kugel ja noch eine weiße ziehen.

Wie gesagt du bildest das nach was passiert. Und wenn bis zur schwarzen gezogen wird dann muss man das auch so modellieren und berechnen.