Beweis für Isometrie in R^n durch eine Matrix und einen speziell definierten Vektor

Question

ich hab einen Spaltenvektor x in Rⁿ mit der Eigenschaft:

< x, x > = (x₁)² + ... + (x_n)²  = 1

für die Matrix:

A = E - 2·x·x^t

und nun soll bewiesen werden das die Matrix A eine Isometrie in Rⁿ definiert.

Zudem ist gefragt wie die Einträge von A aussehen.

Wie macht man das ?

Answer 1

Isometrie einer Abbildung \(f\) bedeutet unter anderem, dass gelten muss$$\left< f(u),\, f(v)\right> = \left< u,\, v\right>$$Weiter ist \(f\)$$f: \quad f(u) = A \cdot u$$jetzt nur noch konsequent einsetzen. Bem.: lt. Voraussetzung ist \(\left< x,\, x\right>=1\)$$f(u) = \left( E - 2xx^T\right)u = u - 2x\cdot \left< x,\, u\right> \\ f(v) = \left( E - 2xx^T\right)v = v - 2x\cdot \left< x,\, v\right> \\ \begin{aligned} \left< f(u),\, f(v)\right> &= \left< u - 2x\cdot \left< x,\, u\right> , \space v - 2x\cdot \left< x,\, v\right>\right> \\ &= \left< u,\, v\right> - 2\left< x,\, u\right> \left< x,\, v\right> - 2\left< x,\, v\right>\left< x,\, u\right> + 4\left< x,\, x\right>\left< x,\, u\right>\left< x,\, v\right> \\ &= \left< u,\, v\right> \quad \text{q.e.d.} \end{aligned}$$

Zudem ist gefragt wie die Einträge von A aussehen.

Im Prinzip so$$A = \begin{pmatrix} 1-2x_1^2 & -2x_1x_2& \dots& -2x_1x_n \\ -2x_1x_2 & 1-2x_2^2& \dots& -2x_2x_n  \\ \vdots& & & \vdots \\ -2x_1 x_n& -2x_2x_n& \dots& 1-2x_n^2 \end{pmatrix}$$

... ach und: es handelt sich um eine Spiegelung an der Ursprungs-(Hyper-)Ebene, die senkrecht auf \(x\) steht.

Comments

mega, danke schon mal.

Aber eine Verständnisfrage hätte ich noch, wo kommt

ƒ: ƒ(u) = A · u

her ?

Hat das nen Namen ?

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Aber eine Verständnisfrage hätte ich noch, wo kommt
ƒ: ƒ(u) = A · u
her ?

Die Isometrie ist eine Abbildung. Diese Abbildung habe ich mit \(f\) bezeichnet. \(u\) ist ein beliebiger Vekor im \(\mathbb{R}^n\) und \(A\) ist die Matrix aus der Aufgabenstellung.$$A \cdot u \to f(u) $$ist allgemein eine Matrix-Vektor-Multiplikation und hier eben eine lineare Abbildung von \(u\) auf \(f(u)\).

Mache Dir mal ein einfaches Beispiel mit $$x=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$$dann ist$$A=\begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix} - 2\cdot \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$$Ein beliebiger Punkt$$u= \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}$$wird nun durch die Abbildung$$f(u)=A \cdot u = \begin{pmatrix}-1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -u_1\\ u_2\end{pmatrix}$$in einen Punkt \(u'=f(u)\) abgebildet. Und das ist in diesem Fall eine Spiegelung an der Y-Achse. D.h. die X-Koordinate wird negiert.

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ahhh,

okay sorry, weiß nicht warum mir das selber nicht in den sinn kam.

vielen dank !

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Das war wirklich eine gute Antwort und es hat mir sehr geholfen. Nur eine Sache kann ich nicht nachvollziehen und zwar in den beiden Zeilen, wo die Abbildungen f(u) und f(v) angegeben werden.

Wie wird aus (E−2xx^t)u dann u−2x⋅⟨x,u⟩? Also \( \vec{u} \) mal Einheitsmatrix verstehe ich, da kommt \( \vec{u} \) raus und verändert sich nicht. -2x ok, aber wieso kommt dann da das Skalarprodukt raus? Habe ich da eine Definition übersehen? Bei der zweiten Abbildung ist das ja dann der geliche Fall...

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Wie wird aus (E−2xx^t)u dann u−2x⋅⟨x,u⟩?

dort werden Vektoren (Matrizen) mit einander multipliziert. Dabei darf zwar nicht ohne weiteres die Reihenfolge der Vektoren verändert werden, da Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.

Aber man kann die Reihenfolge verändern, mit der man die Multiplikationen ausführt. Also ist auch$$(x \cdot x^T) \cdot u = x \cdot (x^T \cdot u)$$und$$x^T \cdot u = \left< x,\, u\right>$$bzw.:$$-2xx^T \cdot u = -2x \cdot (x^Tu) = -2x \cdot \left< x,\,u\right>$$Gruß Werner