Riemann - Integrierbarkeit beweisen von f: [-1, 1] -> R, f(x) : = 0 für x < 0, f(x):=1 für x≥ 0

Question

ich hänge bei einer Aufgabe ein wenig. Vielleicht kann mir ja jemand bisschen weiter helfen

f: [-1, 1] -> R

f(x)=0 für x<0

f(x) =1 für x>=0

Ich möchte zeigen, dass f riemann- integrierbar ist und das Integral ausrechnen, aber auf dem Intervall keine Stammfunktion besitzt.

Comments

Ist Riemann-integrierbar gemeint?

---

Ja, Riemann-integrierbarkeit ist gemeint

Answer 1

Hallo

 du musst doch nur zeigen , dass unabhängig von der Unterteilung Ober- und Untersumme dasselbe ergeben, nämlich 0 für x<=0 und x für x>0

Oder du sagst einfach, dass f(x) eine Treppenfunktion ist, dass die integrierbar ist habt ihr vielleicht schon gezeigt?

dass du das nicht als Funktion darstellen kannst deren Ableitung das Integral ergibt, sieht man daran, dass die Funktion F(x)=0 für x<0 und F(x)=x für x>0 bei 0nicht differenzierbar ist.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die Hilfe. Dann versuche ich es mal formal zu beweisen.

Kann ich hier meine Lösung dann nochmal rein schreiben, dass du dann nochmal schaust, ob es so korrekt ist?

---

Hallo

 ja natürlich, wenn ich dann am Komputer sitze.

Gruß lul

---

Wie du das mit der Treppenfunktion meinst, habe ich jetzt verstanden.

Das ist ja quasi stückweise Stetigkeit. Da die Funktion also stetig ist, wenn auch nur stückweise, ist sie auch integrierbar.

Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob ich das so beweisen darf. Kannst du mir nochmal den Weg mit der Ober und Untersumme zeigen?

Wie würde ich das integral dann berechnen?

Da bin ich mir nicht so sicher, da es zweifach definiert ist, also einmal 0 und einmal 1.

Answer 2

Hi,

die Riemann Integriebarkeit kann man über Unter- und Obersummen zeigen. Die Stammfunktion von \( f(x) \) ist

$$ F(x)= \begin{cases}   0, & \text{wenn } -1 \le x \le 0 \\   x, & \text{wenn } \ \ \ \ 0  \lt x \le 1 \end{cases} $$

Hier musst Du zeigen, das \(  F(x) \) nicht differenzierbar ist in \( x = 0 \). Am Besten durch links- und rechtseitigen Grenzwert des Differentialquotienten.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe.

---

Wäre das dann lim x->0^- F(x) - F(0) / x - 0 und lim x->0^+ F(x) - F(0) / x - 0

---

Beachte: Punkt- vor Strichrechnung.

Du meinst

lim x->0^- (F(x) - F(0)) / (x - 0) und lim x->0^+ (F(x) - F(0) ) / ( x - 0 )

(?)

---

Genau, so habe ich es gemeint :)

Könntest du mir auch nochmal kurz erklären, wie ich jetzt zeige, dass f(x) Riemann integrierbar ist. Ich verstehe das mit der treppenfunktion, aber weiß nicht so recht, wie ich es mit Ober und untersumme zeigen muss.

Danke :)