Erwartungswert von zwei Würfelwürfen

Question

Aufgabe:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. X1 beschreibt den Würfelwurf im 1. Wurf, X2 im 2. Berechne den Erwartungswert E(X1*X2).

Problem/Ansatz:

Ich weiß diese Aufgabe ist ziemlich einfach, nur bin ich mir nicht sicher über den eindeutigen Ansatz. Ich habe überlegt:

E(X1*X2)=(1/6)^2*(1^2+2^2+3^2+...+6^2) = 2.53

Ist dies so korrekt?

Ich hatte auch überlegt, ob man nicht E(X*Y)=E(X)*E(Y) verwenden kann, aber X und Y sind stochastisch abhängig, richtig?

Answer 1

Aloha :)

Der Würfel hat kein Gedächtnis. Das Ergebnis des zweiten Wurfs ist völlig unabhängig vom Ergebnis des ersten Wurfs. Daher kannst du die beiden Erwartungswerte multiplizieren. Du kannst dir das auch anhand einer Matrix klarmachen, in der das Produkt aus beiden Würfen notiert wird:

	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

Die Summe aller möglichen Produkte ist 441 und du hast 36 mögliche Ausgänge. Also ist der Erwartungswert \(\frac{441}{36}=12,25\).

Answer 2

E(X1 * X2) = E(X1) * E(X2) = 3.5 * 3.5 = 12.25

Warum sollten X1 und X2 stoachastisch abhängig sein. Das sind zwei unabhängige Würfe mit einem Würfel oder auch ein Ziehen mit Zurücklegen.

Comments

Für Unabhängigkeit muss doch gelten:

P(A∩B)=P(A)*P(B) -> P(A)=P(B)=1/6.

Aber ist z.b. A (der erste Würfelwurf) eine 4 und B der zweite eine 6, dann wäre der Schnitt doch leer oder? Und somit abhängig.. Aber vermutlich hab ich einen Denkfehler.

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Kannst du nicht im ersten Wurf eine 4 und im zweiten eine 6 Werfen? Wenn ja dann ist der Schnitt doch nicht leer.