a teilt b genau dann, wenn Vb eine Teilmenge von Va ist.

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a teilt b genau dann, wenn Vb eine Teilmenge von Va ist.

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Hallo Nadia,

ich versuche es einfach mal und nehme an, dass z.B. $V_a$ die Menge aller Vielfachen von $a$ in $\mathbb{Z}$ ist. Wenn $V_b$ eine Teilmenge von $V_a$ sein soll, so muss für jedes Element $y \in V_b$ gelten, dass $y$ auch in $V_a$ enthalten ist. Formal in etwa:$$V_b \subseteq V_a: \space \forall y \in V_b \to y \in V_a $$Betrachtet man nun das $y \in V_b$ so gilt$$ y = k \cdot b \quad k \in \mathbb{Z}$$Da $a \mid b$ gilt auch$$n \cdot a = b \quad n \in \mathbb{Z}$$folglich ist $$y = k \cdot n \cdot a = l \cdot a \quad l=k\cdot n, \space l \in \mathbb{Z} \implies y \in V_a$$q.e.d.

Anders herum ist es etwas schwieriger. Die Vorgabe wäre dann $V_b \subseteq V_a$ und daraus soll folgen, dass $a \mid b$. Wir betrachten wieder ein Element $y \in V_b$. Da $y \in V_b$ und $y \in V_a$, muss lt. Voraussetzung gelten:$$y = k \cdot b = l \cdot a \quad \forall k \in \mathbb{Z}$$Da dies für jedes Element $y \in V_b$ gilt, muss es für jedes $k$ ein $l$ geben, welches obige Gleichung erfüllt. Dazu addiere ich auf beiden Seiten $b$$$k\cdot b + b = l \cdot a + b$$da die rechte Seite lt. Voraussetzung immer noch $\in V_a$ ist, muss ein $n \in \mathbb{Z}$ existieren für das gilt$$\begin{aligned}(k+1)\cdot b &= l \cdot a + b = (l+n) \cdot a \quad n \in \mathbb{Z} \\ l \cdot a + b &= l \cdot a + n \cdot a \\ b &= n \cdot a \\ & \implies a \mid b\end{aligned}$$q.e.d.

Gruß Werner

PS.: $\subseteq$ steht für Teilmenge nicht für echte Teilmenge. Die Mengen können auch identisch sein, wenn $a=b$ oder $a=-b$ ist.

Beantwortet 18 Jul 2019 von Werner-Salomon

Hallo Nadia,

Es gilt $$k \cdot b = l \cdot a \quad k,l \in \mathbb{Z}$$ so weit so gut.

Warum mit 1 addiert werden muss ...

muss nicht, ich tue es einfach, um andere Faktoren vor $a$ und $b$ zu erhalten. Dann erhält man$$k \cdot b + b= l \cdot a + b$$Ist ja zunächst nichts falsch daran. Die linke Seite kann man umformen nach $k \cdot b + b = (k+1)\cdot b$ womit klar ist, dass das Ergebnis immer noch $\in V_b$ ist. Wenn aber der alle Elemente aus $V_b$ auch in $V_a$ enthalten sind (nach Voraussetzung!), dann muss auch der rechte Teil $(l \cdot a + b) \in V_a$ sein! Das reicht im Grunde schon, um zu zeigen, dass $a \mid b$, da in dem Term $l \cdot a +b$ das $a$ als Faktor enthalten sein muss.

Ich wollte es noch ein wenig genauer machen, indem ich einen Faktor $f=l+n$ mit $n \in \mathbb{Z}$ eingeführt habe, für den gilt$$l \cdot a + b = f \cdot a \quad \text{da} \space (l \cdot a + b) \in V_a$$Und das gibt dann die obige Gleichung$$l \cdot a + b = (l + n) \cdot a$$wo man $l \cdot a$ subtrahieren kann und $$b = n \cdot a \quad n \in \mathbb{Z}$$ stehen bleibt. Was nichts anderes heißt als $a \mid b$.

Wenn es Dir besser gefällt kann man auch schreiben$$\begin{aligned} l \cdot a +b &= f \cdot a && \left |\, - l \cdot a\right.\\ b &= f \cdot a - l \cdot a \\ b &= (f-l) \cdot a\end{aligned}$$ und da $(f-l) \in \mathbb{Z}$ ist, muss auch $a \mid b$ gelten.

Kommentiert 19 Jul 2019 von Werner-Salomon

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