Ist \(f(x)=\begin{cases}(x^2+1)^{\frac{1}{x}} \text{ , falls } x>0 \\1 \quad \quad \quad \quad \text{, falls } x\leq 0\end{cases}\) überall stetig?
Beweis:
a) Warum ist \(f|_{\mathbb{R}\backslash\{0\}}\) stetig?
\(f\) ist für alle \(\tilde{x}>0\) stetig, da die Konstituenten der Komposition \(f(x)=(1+x^2)^{\frac{1}{x}}=(g\circ h)(x)\) mit \(g: (0,\infty)\to \mathbb{R}, x\mapsto x^{\frac{1}{x}}\) und \(h: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto 1+x^2\) jeweils stetig sind.
Für alle \(\tilde{x}\leq 0\) ist \(f\) ebenfalls stetig, da konstante Funktionen (Hier: \(y=1\)) stetig sind.
b) Warum ist \(f\) in \(x_0=0\) stetig?
Zu überprüfen gilt \(x_0=0\). Um an diesem Punkt stetig zu sein, muss \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) gelten:
Rechtsseitiger Grenzwert$$L:=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}(x^2+1)^{\frac{1}{x}} \iff \ln(L)=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln(x^2+1)}{x}$$ Mit L'Hôpital folgt:$$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=0$$ Wir haben also summa summarum herausgefunden, dass \(\ln(L)=0 \Leftrightarrow L=e^0=1\).
Linksseitiger Grenzwert$$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}1=1$$ ... damit stimmen links- und rechtseitiger Grenzwert überein und \(f\) ist überall stetig.
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Fehlt dem Beweis noch irgendetwas? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich ohne weiteres \(L:=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}(x^2+1)^{\frac{1}{x}} \iff \ln(L)=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln(x^2+1)}{x}\) annehmen darf. Gibt es ansonsten eventuell noch irgendwelche Lücken?
