Transformation in partieller Differentialgleichung

Question

ich bin gerade in der Prüfungsvorbereitung für Mathe 3, dies beinhaltet bei mir auch partielle Differentialgleichungen. In einer Probeklausur kam die Aufgabe:

Lösen Sie die partielle Differentialgleichung xu_xx−yu_xy+u_x = y² mittels der Substitution v = u_x.

daraus folgt natürlich Einsetzen

x_vx−y_vy+v = y²

Dann der Standardansatz:

\( \frac{dx}{dt} \) = x ; \( \frac{dy}{dt} \) = -y

daraus folgt:

x(t) = ce^t und y(t) = de^-t soweit sogut.

Ab hier komme ich leider nicht weiter, nicht mal mit dem Lösungsvorschlag. dort steht:

Transformation: s(x,y) = xy da xy = const. und t(x,y)=y

aber ich finde irgendwie in meiner Formelsammlung nichts dazu. Handelt es sich um eine Art Fourier Transformation?

Answer 1

Mit der Transformation \( v = u_x \) folgt aus der Ausgangsgleichung $$  x v_x - y v_y + v = y^2 $$

Mit \( s = x y \) und \( t = y \) folgt \(  s_x = y \), \( s_y = x \), \( t_x = 0 \) und \(t_y = 1 \)

Damit ergibt sich $$  v_x = v_s y $$ und $$  v_y = v_s x + v_t $$ wegen

$$  v_x = v_s s_x + v_t t_x $$ und $$  v_y = v_s s_y + v_t t_y $$

Eingesetzt in die DGL für \( v \) ergibt sich

$$  -v_t t + v = t^2 $$ Diese DGL kann man mit Variation der Konstanten lösen und erhält

$$ v = -t^2 + C t $$ mit einer beliebigen Konstante \( C \)

Aus \( u_x = v \) folgt dann

$$  u(x,y) = -y^2 x + A y x + B $$

Kontrolle erfolgt über einsetzten der gefundenen Lösung in die Ausgangsgleichung

$$ x u_{xx} - y u_{xy} + u_x = y^2  $$

Comments

vielen Dank für die Antwort, aber mein Problem ist wie ich auf diese Transformation komme, in der eigentlichen Aufgabe ist die Transformation nicht beschrieben, nur im bereits gelösten Teil. Ich sehe auch gerade das ich fälschlicherweise das eingesetzte v komplett niedrig gestellt habe, so wie du das geschrieben hast ist es natürlich richtig.

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Die Transformation stammen von den charakteristischen Gleichungen

\( \frac{dx}{dt} = x \) und \( \frac{dy}{dt} = -y \)

Die Lösung ergibt $$  C = x y $$ und daher stammt die Transformation \( s = x y \). Für \( t \) hat man \( t = y \) gewählt. \( t = x \) wäre auch möglich gewesen.