Wie groß ist die Steigung der Tangente im Punkt S(1/ys)

Question

Aufgabe:

Mir gegeben wurde Polynomfunktion 3 Grades:

Mit der Punkte P(0/12) und Q(-2/16) und berührt die x-Achse im Punkt N(2/0)

Problem/Ansatz:

Wie groß ist die Steigung der Tangente im Punkt S(1/ys)?

Ich habe diese Funktion leider noch nicht gefunden,aber wenn man diese Funktion findet,wie findet man dann die Steigung ??

Vielen Dank im Voraus!!!

Answer 1

Ansatz f(x)= ax³+bx²+cx+d

Die Angaben führen auf das System

d=12

16=-8a+4b-2c+d

8a+4b+2c+d=0

12a+4b+c=0

Löse dies System und setze die Lösungen in den Ansatz ein. Erhalte f(x)

Wie groß ist die Steigung der Tangente im Punkt S(1/ys)?

Bestimme f '(1).

Answer 2

Aloha :)

Die Parabel 3-ten Grades berührt die x-Achse im Punkt \(N(2;0)\), d.h. wir haben dort eine doppelte Nullstelle und können daraus schließen, dass der Faktor \((x-2)^2\) in der Parabelgleichung auftaucht. Daher ist$$p(x)=a(x-b)(x-2)^2$$Zus Bestimmung von \(a\) und \(b\) setzen wird die beiden Punkte ein:$$12=p(0)=a\cdot(-b)\cdot(-2)^2=-4ab\quad\Rightarrow\quad \underline{ab=-3}$$$$16=p(-2)=a(-2-b)(-2-2)^2=-a(2+b)\cdot16$$$$\Rightarrow\quad1=-a(2+b)=-2a-ab=-2a-(-3)=-2a+3\quad\Rightarrow\quad\underline{a=1}$$Wegen \(a=1\) muss \(b=-3\) gelten und die Gleichung der Parabel lautet:$$p(x)=(x+3)(x-2)^2$$Die Ableitung liefert die gesuchte Steigung:$$p'(x)=(x-2)^2+2(x+3)(x-2)=3x^2-2x-8$$$$\Rightarrow p'(1)=3-2-8=-7$$

Answer 3

Mir gegeben wurde Polynomfunktion 3 Grades:
Mit der Punkte P(0/12) und Q(-2/16) und berührt die x-Achse im Punkt N(2/0)

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f ( 0 ) = a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = 12  => d = 12

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + 12
Q(-2/16)
f ( -2 ) = a*(-2)^3 + b*(-2)^2 + c*(-2) + 12 = 16
f ( 2 ) = a*(2)^3 + b*(2)^2 + c*(2) + 12 = 0
und berührt
f ´( x ) = 3 *a*x^2 + 2*b*x + c
f ´( 2 ) = 3 *a*2^2 + 2*b*2 + c = 0

f ( -2 ) = a*(-2)^3 + b*(-2)^2 + c*(-2) + 12 = 16
f ( 2 ) = a*(2)^3 + b*(2)^2 + c*(2) + 12 = 0
f ´( 2 ) = 3 *a*2^2 + 2*b*2 + c = 0

a*(-2)^3 + b*(-2)^2 + c*(-2) + 12 = 16
a*(2)^3 + b*(2)^2 + c*(2) + 12 = 0
3 *a*2^2 + 2*b*2 + c = 0

Schaffst du die Lösung nach a,b,c ?

Comments

Zur Kontrolle
f(x) = x^3 - x^2 - 8·x + 12
f ´( x ) = 3*x^2 - 2*x - 8

Steigung an der Stelle x = 1
f ´( 1 ) =  3*1^2 - 2*1 - 8
f ´( 1 ) = -7

Answer 4

@milaram

Wenn du mal ausblendest, was dir die bisherigen Antwortgeber unverlangt (die Frage war nur):

aber wenn man diese Funktion findet,wie findet man dann die Steigung ??

in vorauseilendem Gehorsam gespoilert haben:

Man findet die Steigung, indem man die erste Ableitung an der Stelle x=1 berechnet.