Schmiegewinkel für Plattenzuschnitt bei einer sechseckigen Pyramide berechnen

Question

Aufgabe:

Ich suche nach einer Möglichkeit, den Schmiegewinkel in Abhängigkeit zur Höhe einer sechseckigen Pyramide ausrechnen zu können

Konkret:…ich möchte ca 12mm dicke Holzplatten für ein sechseckiges Dach zuschneiden.

Die Platten sollen so zueinander passen, dass sie flächig und spaltfrei aneinander stoßen.

Um die Platten an der Kreissäge zuschneiden zu können, benötige ich den Winkel zwischen zwei Seitenflächen, und zwar in einer Ebene gemessen, die senkrecht zu einer der Aussenkanten (meine nicht die Bodenkanten :-)  ) orientiert ist...

der sogenannte Schmiegenwinkel. (Um diesen Winkel wird dann das Sägeblatt gegenüber dem Sägetisch geschwenkt)

Problem/Ansatz:

mir ist klar, dass sich der Schmiegenwinkel in Abhängigkeit  zur Höhe der sechseckigen Pyramide verändern muss, daher suche ich nach der entsprechenden Formel. für Eure Hilfe!

Comments

Ist der Schmiegenwinkel bei dir der Winkel, welche von den Schenkeln der dreiksförmigen Platten eingeschlossen wird?

---

Die Platten bleiben doch sicher in Rechteckform.
Das Dach hat 6 Kanten.
Dort stoßen die Kanten der Platten zusammen
und für diesen Stoßpunkt willst du dein
Schneidewinkel der Plattenkanten wissen ?

Ja ?

mfg Georg

---

Ich denke es geht um den Winkel zwischen benachbarten Ebenen, in denen

jeweils die dreiecksförmigen Bretter liegen.

---

Hier ein Aufsatz darüber zu Einlesen:

https://www.math-it.org/Publikationen/Trichterzinkung.pdf

---

Hier ein Aufsatz darüber zu Einlesen:
https://www.math-it.org/Publikationen/Trichterzinkung.pdf

dort heißt der gesuchte Winkel 'Gehrungswinkel' $\gamma$ (was IMHO korrekt ist).

---

Danke für die vielen Antworten.

Die Aufgabe noch einmal etwas ergänzend erklärt:

Um die Platten an der Kreissäge zuschneiden zu können, benötige ich den Winkel zwischen zwei Seitenflächen, und zwar in einer Ebene gemessen, die senkrecht zu einer der Außenkanten orientiert ist.

Man stelle sich eine Ebene vor, die senkrecht zu einer der 6 Außenkanten angeordnet ist.

Schneidet man mit dieser Ebene den Kegel, so ergibt sich ein Schnitt durch die 2 (links und rechts) benachbarten Dreiecksflächen der sechseckigen Pyramide.

Für den Plattenzuschnitt benötige ich den zwischen diesen beiden Schnitt-Linien aufgespannten Innenwinkel  (wird auch oft als Gehrung bezeichnet)

Ich denke, mit der Antwort von Werner Salomon ist mir echt geholfen.

Danke an Alle für die Hilfe.

Gruß

Joachim

Answer 1

Wenn der Schmiegenwinkel $\alpha$ der Winkel ist, den die Schnittkannte der Seitenplatte zur Fläche der Platte einnimmt, so ist der $$\alpha = 90° + \frac 12 \arccos\left( \frac{2+3\left(\frac ah\right)^2}{4+3\left(\frac ah\right)^2}\right)$$$a$ ist die Seitenlänge der Pyramide und $h$ ihre Höhe.

D.h. Du musst für den Zuschnitt das Sägeblatt um $\alpha - 90°$ aus der Senkrechten kippen.

Falls Du an einer Herleitung der Formel interessiert bist oder noch Fragen hast, so melde Dich bitte nochmal.

PS.: Kennst Du Rolf?

Answer 2

Komplette Draufsicht auf ein Sechseck siehe Roland



Der Schmiegewinkel dürfte bei einem Sechseck
60 ° betragen . Unabhängig von anderen geometrischen
Angaben.

Answer 3

Meiner Meinung nach braucht man 6 (dreieckige) Bretter, um eine Pyramide mit sechseckiger Grundfläche aufzustellen. An der Grundfläche der Pyramide ergibt sich dann dieses Bild:

 

Comments

Danke für die vielen Antworten.

Die Aufgabe noch einmal etwas ergänzend erklärt:

Um die Platten an der Kreissäge zuschneiden zu können, benötige ich den Winkel zwischen zwei Seitenflächen, und zwar in einer Ebene gemessen, die senkrecht zu einer der Außenkanten orientiert ist.
Man stelle sich eine Ebene vor, die senkrecht zu einer der 6 Außenkanten angeordnet ist.
Schneidet man mit dieser Ebene den Kegel, so ergibt sich ein Schnitt durch die 2 (links und rechts) benachbarten Dreiecksflächen der sechseckigen Pyramide.
Für den Plattenzuschnitt benötige ich den zwischen diesen beiden Schnitt-Linien aufgespannten Innenwinkel  (wird auch oft als Gehrung bezeichnet)
Ich denke, mit der Antwort von Werner Salomon ist mir echt geholfen.
Danke an Alle für die Hilfe.
Gruß

Joachim

Answer 4

Willst du nur ein Ergebnis oder auch die Genese ?

Ich habe bekommen (wenn x der Faktor ist, um den die Höhe sich von der

halben Grundkante unterscheidet also x = h/(a/2) = 2h/a ) für den Winkel in Grad:

α = arccos(  0,5547(x²+0,40185)  /  wurzel((x²+0,0165469*8x²+3))

Dabei ist arccos auf Grad eingestellt.

Ggf. ( bei rad) muss noch der Faktor 180/pi ergänzt werden.

Zur Genese:

Ich habe ein Koordinatensystem mit der Einheit a/2 (also halbe Grundkante

und dann die Ebenen duch ABC und BCD betrachtet mit

A=(0/0/0)  B=(0/1/0)  C=(√3 / 0 / x )  und D = ( 1,5 / 0,5*√3 / 0 )

Wenn ich richtig gerechnet habe:

Der Winkel wird bei wachsendem x zunächst größer und dann wieder kleiner.

Wenn die Höhe ungefähr halb so groß ist wie die Grundkante ist er wohl ziemlich groß

(ca. 7o°) . Etwa so:

Plotlux öffnen

f₁(x) = acos(0,5547·(x²+0,40185)/√((x²+0,0165469)·(x²+3)))·180/πZoom: x(0…10) y(0…90)

Comments

1. Wo steht in deiner Formel das x ?

2. Die Bretter sollten wohl trapezförmigen Querschnitt bekommen mit Winkeln 90°+φ/2 und 90°-φ/2 wobei  cos φ = 1 - 1/(2+3/(2x²))
Der Boden und die Spitze verlangen dann noch weitere Schnitte.

---

Pardon, das h ist das x. Korrigiere ich.

---

Der Winkel wird bei wachsendem x zunächst größer und dann wieder kleiner.

.. das gilt IMHO für keinen Winkel der Pyramide; solange die Höhe und Seitenkante positiv sind.

---

Danke für die vielen Antworten.

Die Aufgabe noch einmal etwas ergänzend erklärt:

Um die Platten an der Kreissäge zuschneiden zu können, benötige ich den Winkel zwischen zwei Seitenflächen, und zwar in einer Ebene gemessen, die senkrecht zu einer der Außenkanten orientiert ist.
Man stelle sich eine Ebene vor, die senkrecht zu einer der 6 Außenkanten angeordnet ist.
Schneidet man mit dieser Ebene den Kegel, so ergibt sich ein Schnitt durch die 2 (links und rechts) benachbarten Dreiecksflächen der sechseckigen Pyramide.
Für den Plattenzuschnitt benötige ich den zwischen diesen beiden Schnitt-Linien aufgespannten Innenwinkel  (wird auch oft als Gehrung bezeichnet)
Ich denke, mit der Antwort von Werner Salomon ist mir echt geholfen.
Danke an Alle für die Hilfe.
Gruß

Joachim