Wieso ist die Normalenform der Geradengleichung n*AX=0 gleichwertig zu n1x+n2y-k=0?

Question

Wieso ist der Normalenform die Geradengleichung n*AX=0 gleichwertig zu n1x+n2y-k=0? Was genau bedeutet k?

Comments

Bist du sicher, dass die erste Gleichung nicht

\( \vec{n}·(\vec{a}-\vec{x})=0\)    lauten soll?

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Ja hast du Recht. Hab den Vektorzeichen leider weggelassen...was genau bedeutet k und wieso sind die 2 Gleichungen gleichwertig?

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Du kannst Vektoren auch fett schreiben. Mit AX ist x - a gemeint. Da das Resultat 0 ist, ist das aber egal.

Answer 1

Hallo Antonia,

\( \vec{n}·(\vec{a}-\vec{x})=0\) 
⇔  \(\begin{pmatrix} n_1\\ n_2 \end{pmatrix}·\left(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}\right)=0\)
⇔ n₁ a₁ + n₂ a₂ - ( n₁ x + n₂ y) = 0
⇔  n₁ x + n₂ y  =  n₁ a₁ + n₂ a₂
Die ausgerechnete Zahl  auf der rechten Seite der Gleichung kann man k nennen.

Gruß Wolfgang

Comments

Lieber Wolfgang,

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Könntest du mir bitte noch sagen wo der Unterschied zwischen Koordinatenformen der Gleichungssysteme und Normalform ist. Klar sind beide 2 lineare Funktionen und der Normalform hat 2 senkrechte Geraden ( was nicht zwingend beim Koordinatenform ist) wo ist aber der Unterschied was repräsentiert jeder?

LG

Antonia

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zwischen Koordinatenformen der Gleichungssysteme und Normalform

?

Geht es dir im Geradengleichungen oder etwas anderes?

( n1 a1 + n2 a2) entspricht dem k. 

Gemäss Defintion des Skalarprodukts

k =( n1 a1 + n2 a2) =  n * AX = |n| * |a| cos(phi) 

Das kannst du zeichnen und dann mit dem Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung vergleichen.

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Geradengleichung

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Ok. Habe meinen Kommentar etwas erweitert. Bin mir aber nicht sicher, worauf die Frage rauswill.

Hast du einen genaueren Kontext?

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Allgemein der Unterschied zwischen Koordinatenform und Normalenform. Wenn ich richtig verstanden hab beide sind lineare Funktionen ( als Gleichung) und Normalform hat zusätzlich die 2 Vektoren senkrecht aufeinander. Wo liegt aber der Unterschied zwischen die beiden. Wann benutzt man die eine wann die andere

Answer 2

Allgemein der Unterschied zwischen Koordinatenform und Normalenform.

Die beiden Formen sind gleichwertig. D.h. du brauchst nicht beide zu lernen. Je nachdem bist du mit der einen oder der andern schneller bei deiner Rechnung.

Die Hessesche Normalform ist gelegentlich noch schneller.

Das altbekannte y = mx+q ist übrigens auch eine Geradengleichung. Du kannst sie in beide andern Formen bringen, wenn du willst. Neu hast du bei den andern Geradengleichungen aber auch die Parallelen zur y-Achse. D.h. x = a. Diese konntest du mit y = mx + q ja nicht darstellen.

Comments

Sind auch im Koordinatenform die Vektoren senkrecht auf der Ebene?

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Senkrecht auf welcher Ebene? Hast du denn mal eine Zeichnung gemacht?

Deine Vektoren haben nur zwei Koordinaten. Daher ist das Ganze in der Koordinatenebene zu betrachten und die Gleichungen sind keine Ebenen- sondern Geradengleichungen. D.h. der Normalenvektor n = (n1 n2) steht senkrecht auf der Geraden.

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Ok hab verstanden.

Sind auch im Koordinatenform die Geraden senkrecht aufeinander?

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Wo ist die zweite Gerade? Hast du inzwischen deine Skizzen und alles eingezeichnet?

https://www.mathelounge.de/schreibregeln Bitte von Anfang an eine Frage so stellen, dass klar ist, ob du 2D oder 3D meinst. Vgl. auch die lange Diskussion, die sich hier ergeben hat. https://www.mathelounge.de/647845/wieso-ist-die-normalenform-geradengleichung-gleichwertig

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Die Vektoren habe ich missverständlich “Geraden” genannt. Ob in 2D oder 3D spielt keine Rolle... meine Frage ist ob ein Vektor senkrecht auf einen anderen im Koordinatensystem steht. ( genauso wie im Normalenform)

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Die Vektoren habe ich missverständlich “Geraden” genannt. Ob in 2D oder 3D spielt keine Rolle... meine Frage ist ob ein Vektor senkrecht auf einen anderen im Koordinatenform steht. ( genauso wie im Normalenform)