Ungleichung mit zwei Variablen: Menge in komplexer Zahlenebene zeichnen

Question

Aufgabe:

Zeichne die Menge :
\( M=\{z \in \mathbb{C} :|z|+\operatorname{Re} z \leq 1\}\)

Problem/Ansatz:

sei \( z=x+i y\)  dann gilt :

\( \sqrt{x^{2}+y^{2}}+x \leq 1\)

\( \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 1-x\)

\(x^{2}+y^{2} \leq(1-x)^{2}\)

\(y^{2} \leq 1-2 x\)

ich weiß es nicht, wie ich diese Ungleichung lösen kann.

Answer 1

Einfacher ist es, wenn du nach x auflöst und dann dein Zeichenblatt nach üblicher Achsenbeschriftung um 90° drehst.

y^{2} ≤ 1-2 x

2x ≤ 1 - y^{2}

x ≤ 1/2 - 1/2 y^2

Das Gebiet, das du suchst, wird durch die Parabel  begrenzt.

Gedrehtes Blatt: D.h. x und y im Folgenden vertauscht:

Parabel nach unten geöffnet und im Vergleich zur Normalparabel mit dem Faktor 1/2 in x-Richtung gestaucht.

Nun noch verschieben bis Scheitelpunkt S(0 | 1/2 ).

Dann alles unterhalb der Parabel schraffieren und Parabelbogen gleichfarbig ausziehen.

Zum Schluss Blatt wieder drehen. Nun gilt S(1/2 |0) und schraffiert ist das Gebiet links von der Parabel (inklusive Parabelbogen).

Comments

Hallo Lu,

Ich halte das zwar - bezogen auf meine Antwort - nicht für "(handwerklich) einfacher" aber dein Vorschlag gefällt mir :-)

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Nachtrag , weil ich durch den Daumen die Reihenfolge der Antworten verändert habe :-) 

Gruß Wolfgang

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Danke für den Pluspunkt :)

Falls ihr euch näher mit Kegelschnitten beschäftigen möchtet, Tipp: https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt#Scheitelgleichung_einer_Kegelschnittschar

Man muss die "liegende Parabel" noch geeignet verschieben.

Muss man das Gebiet am Computer schraffieren, könnte das Drehen des Zeichenblattes nicht ganz so einfach zu haben sein. 

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Alle Punkte auf unserer Parabel haben vom Brennpunkt und von der Leitgeraden den gleichen Abstand.

Hier könnte man die gegebene Gleichung von Anfang an geometrisch analysieren.

| z | = 1-x

Brennpunkt: B(0|0), Leitgerade hat die Gleichung x=1.

Wiederum im Prinzip https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)#Definition_mit_Leitlinie gedreht. Oder?

Answer 2

y² ≤ 1 - 2x   ,  x,y ∈ ℝ

in ℝxℝ hat die Ungleichung nur Lösungen für 1-2x ≥ 0, also für   x ≤ 1/2 :

|y| ≤ √(1 - 2x)

-√(1 - 2x) ≤ y ≤ √(1 - 2x)

  y ≥ -√(1 - 2x)  ∧  y ≤ √(1 - 2x)  

wenn du jetzt die beiden Wurzelfunktionen zeichnest, hast du M zwischen den beiden Graphen (Rolands Bild!)

Gruß Wolfgang

Comments

deine Lösung ist super klar und einfach ...da ich mich mit Parabelen nicht besonders gut auskenne.
Vielen Danke :)

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immer wieder gern :-)

Answer 3

Du warst doch schon bei 99 m bei einem 100 m lauf. Du bräuchtest nur noch einen Schritt über die Ziellinie machen.

$$ y^{2} \leq 1 - 2x \\ x \leq 0.5 - 0.5 y^2 $$

Das sieht also wie eine Parabel aus nur das die x- und y-Achse vertauscht ist. Also eine nach links geöffnete Parabel.

Comments

Achte bei mir in der Skizze darauf das ich extra für dich die x- und y-Achse vertauscht habe damit du die Parabel besser sehen kannst:

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super einfach ...Danke

Answer 4

Du sollst keine Ungleichung lösen, sondern eine der Ungleichungen graphisch darstellen: