Wie kann man X und Y so bestimmen, dass der Flächeninhalt des eingezeichneten Rechtecks maximal wird?

Question

Auf der Geraden g mit der Gleichung Y = –2X + 4 liegt der Punkt P(Xp ; Yp).

Bestimmen Sie seine Koordinaten Xp und Yp so, dass der Flächeninhalt  des eingezeichneten Rechtecks maximal wird?

Comments

Für die Zukunft dann bitte auch eigene Ideen/ Ansätze liefern. Es ist nicht schlimm, wenn man zunächst in die falsche Richtung gedacht hat.

Answer 1

Extremalbedingung:

\(A(x,y)=x·y\)  (Formel für Flächeninhalt eines Rechtecks)

Nebenbedingung:

\(y=-2x+4\)

Extremwerte:

\(A(x)=x(-2x+4)=-2x^2+4x\)

\(A'(x)=-4x+4\)

\(A'(x)=0  ⇒  x=1\)

Der Punkt ist also \(P(1|A(1)=2)\)

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Danke schön!

Answer 2

Aloha :)

Die markierte Fläche \(F=x\cdot y\) soll unter der Nebenbedingung \(y=-2x+4\) maximal sein. Wir setzen die Nebenbedingung in die Formel für \(F\) ein, damit \(F\) nur noch von einer Variablen abhängt:

$$F=x\cdot y=x\cdot\underbrace{\left(-2x+4\right)}_{=y}=-2x^2+4x=-2x^2+4x\underbrace{-2+2}_{=0}$$$$\phantom{F}=(-2x^2+4x-2)+2=-2(x^2-2x+1)+2=-2(x-1)^2+2$$$$\phantom{F}=2-2(x-1)^2$$

Der Wert von \(F\) ist am größten, wenn wir von der \(2\) am wenigsten abziehen, und das ist der Fall, wenn \(-2(x-1)^2\) gleich Null ist, bzw. wenn \(x=1\) ist.

Der gesuchte Punkt ist daher \(P(1;2)\).

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Vielen Dank!

Answer 3

Y = –2*x + 4

Falls du dir das für später merken willst, es vereinfacht
die Sache ungemein :
Der Punkt ist die Hälfte des Abstand des Nullpunkts
sowie Hälfte des y-Achsenabschnitts.
-2x + 4 = 0
x = 2
Die Hälfte davon = 1
y-Achsenabschnitt : 4. die Hälfte davon = 2
P ( 1 | 2 )