Grenzwert mit Folgenkonvergenz bestimmen

Question

Aufgabe:

Wie bilde ich hier den Grenzwert?

(n^3)/(n^2+n+4)?

Comments

Was soll mit "Grenzwert mit Folgenkonvergenz" gemeint sein? Bitte mehr Kontext zur Aufgabe!

Answer 1

Es ist hier ja sicher der Grenzwert für n gegen Unendlich gemeint. Dieser kann nicht existieren, wenn das Polynom im Zähler einen Höheren Grad hat als das Polynom im Nenner.

Bei dir hast du im Zähler mit n^3 ein Polynom dritten graden. Im Nenner steht mit n^2 + n + 4 ein Polynom zweiten Grades. Der Grad des Zählerpolynoms ist größer als der Grad des Nennerpolynoms und daher ist die Folge divergent.

$$ \frac{n^3}{n^2 + n + 4} = \frac{n^2 \cdot n}{n^2 \cdot(1 + 1/n + 4/n^2)} = \frac{n}{(1 + 1/n + 4/n^2)} $$

Hier siehst du das der Zähler gegen unendlich geht und der Nenner gegen 1.

Answer 2

Kürze mit n^3:

-> 1/"0" → lim = +oo

Answer 3

Aloha :)

Das Objekt konvergiert nicht, denn:$$\frac{n^3}{n^2+n+4}=\frac{n^3+\overbrace{n^2+4n-n^2-4n}^{=0}}{n^2+n+4}=\frac{n(n^2+n+4)-(n^2+4n)}{n^2+n+4}$$$$\quad=n-\frac{n^2+4n}{n^2+n+4}=n-\frac{n^2+n+4+3n-4}{n^2+n+4}=n-1-\frac{3n-4}{n^2+n+4}$$

Für \(n\gg1\) nähert sich das Objekt dem Wert \(n-1\).