Berechnen Sie die nachfolgenden Integrale. Der Rechenweg muss ersichtlich sein.

Question

Aufgabe:

$$\int_{0}^{1}\sqrt{\sqrt{x}+1}dx$$

Problem/Ansatz:

In meiner Musterloesung wird $$\sqrt{\sqrt{x}+1}$$ als substituierter Teil angenommen. Kann mir jemand erklären warum man das bei dieser Aufgabe so macht? Mein Ansatz war $$\sqrt{x}+1$$ zu substituieren, jedoch habe ich mich dann anschliessend bei der partiellen Integration verlaufen und bemerkt, dass etwas nicht stimmt.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo

ich hätte auch deinen Weg gewählt, aber warum danach noch eine partielle Integration vorkommt verstehe ich nicht.

u=√x+1 , du=1/(2√x)dx , dx=2(u-1)du

 also hast du dann 2(u-1)*√u zu integrieren, also 2*u^3/2-2*u^1/2

das geht direkt.

es gibt oft mehrere Möglichkeiten der Substitution, wenn eine nicht klappt nimmt man ne andere.

Gruß lul

Comments

Danke dir fuer deinen Hinweis! Habe das ganze jetzt mit meinem Ansatz durchgerechnet und ich komme auf das gleiche Ergebnis!

Answer 2

Aloha :)

Ich bin auch für deine Lösung, die ist intuitiv und geht sehr schnell:$$I=\int\limits_0^1\sqrt{\sqrt x+1}\,dx$$Mit der Substitution \(u:=\sqrt x+1\) wird \(u(0)=1\) und \(u(1)=2\) und \(\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{2(u-1)}\), d.h.:

$$I=\int\limits_1^2\sqrt u\,2(u-1)\,du=2\int\limits_1^2\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)\,du=2\left[\frac{2u^{5/2}}{5}-\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_1^2$$$$\phantom{I}=2\left(\frac{2\sqrt{32}}{5}-\frac{2\sqrt8}{3}-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)=2\left(\frac{24\sqrt2}{15}-\frac{20\sqrt2}{15}-\frac{6}{15}+\frac{10}{15}\right)$$$$\phantom{I}=\frac{2}{15}\left(4\sqrt2+4\right)=\frac{8}{15}\left(\sqrt2+1\right)$$