Gleichung der Tangenten an den Nullstellen der Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Funktion mit der Gleichung :

f(x)=(2x^2-8)*(x+3)^2

Problem/Ansatz:

Ermitteln die Gleichungen der Tangenten an den Nullstellen der Funktion,

Muss man hier nur Nullstelle machen oder?

Ich wäre sehr dankbar für die ausführliche Antwort!

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Erst mal die Nullstellen. Das ergibt die Punkte

A(2;0)  B(-2;0) und C ( -3 ; 0 )

Jetzt in jedem der 3 Punkte die Gleichung der Tangente bestimmen.

Bei A etwa:  f ' (2) = 200 also Steigung m=200

Mit y = m*x+n bekommst du in dem Punkt

0 = 200*2+n

also n=-400 und Tangente ist

y= 200x-400.

Sieht so aus :

~plot~ (2*x^2-8)*(x+3)^2; 200x-400;[[-4|4|-100|300]] ~plot~

Answer 2

Nullstellen bestimmen, dann Tangentgleichungen aufstellen.

Nullstellen:

2x^2-8 = 0

x= +-2

x+3= 0

x=-3

Tangente für x=2:

t(x) = (x-2)' f '(2) + f(2)

Analog für x=-2 und x=-3

Du brauchst also auch die 1. Ableitung.

Produktregel anwenden oder vorher ausmultiplizieren! :)

Answer 3

Das könnte so aussehen:

Funktion & Ableitung

f(x) = (2·x^2 - 8)·(x + 3)^2 = 2·x^4 + 12·x^3 + 10·x^2 - 48·x - 72

f'(x) = 8·x^3 + 36·x^2 + 20·x - 48

Nullstellen

f(x) = (2·x^2 - 8)·(x + 3)^2 = 0 --> x = -3 (2-fach) ∨ x = -2 ∨ x = 2

Tangenten

t1(x) = f'(-3)·(x - (-3)) + f(-3) = 0

t2(x) = f'(-2)·(x - (-2)) + f(-2) = - 8·x - 16

t3(x) = f'(2)·(x - 2) + f(2) = 200·x - 400

Hier noch eine Skizze:
~plot~ (2x^2-8)(x+3)^2;0;-8x-16;200x-400;[[-4|3|-50|50]] ~plot~