Komplexe Zahl hoch komplexe Zahl - wo liegt der Fehler in der Umformung?

Question

Hier die Umformung:

$$a, b \in \mathbb{C};\;a = r e^{i \alpha};\;b = c + di$$
$$\Large{\begin{aligned} a^b &= e^{b \ln a} \\ &= e^{b \ln (r e^{i \alpha})} \\ &= e^{b (\ln r + i \alpha \ln e)} \\ &= e^{(c+di)(\ln r + i \alpha)} \\ &= e^{c \ln r + di \ln r + ic\alpha - d\alpha} \\ &= r^c \cdot e^{di \ln r+ic\alpha-d\alpha} \\ &= r^c \cdot \frac{e^{i (d \ln r+c\alpha)}}{e^{d\alpha}}\end{aligned}}$$

$$\Rightarrow \boxed{\boxed{a^b = \frac{r^c}{e^{d\alpha}} \cdot e^{i(d \ln r+c\alpha)}=\frac{r^c}{e^{d\alpha}} \left(\cos(d \ln r+c\alpha)+i\sin(d \ln r+c\alpha)\right)}}$$

Sie ist aber offensichtlich nicht richtig (Probe mit zwei beliebigen komplexen Zahlen). Wo liegt der Fehler?

Answer 1

Aloha :)

Das ist das "Überlaufproblem" bei Potenzen mit komplexen Zahlen. Wegen \(e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\mathbb{Z}\pi)}\) kann man Potenzen komplexer Zahlen nicht eindeutig darstellen. Das ist eine sehr zuverlässige Fehlerquelle wenn man einfach nur die Rechenregeln anwendet. Dazu ein klassisches Beispiel:$$1=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{i^2\cdot i^2}=\sqrt{i^4}=\sqrt{\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^4}=\sqrt{e^{i2\pi}}=e^{i\pi}=-1$$Problem ist, dass \(e^{i2\pi}=e^{i0}=1\), aber nach Potenzgesetzen \(\sqrt{e^{i2\pi}}=e^{i2\pi\cdot\frac{1}{2}}=e^{i\pi}\) gilt.

Diese uneindeutige Darstellung führt auch beim Logarithmus zu Problemen, z.B ist eine mögliche Interpretation:$$2,1i\pi=\ln\left(e^{2,1i\pi}\right)=\ln\left(e^{0,1i\pi}\right)=0,1i\pi$$

Comments

\(1=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{i^2\cdot i^2}=\sqrt{i^4}=\sqrt{\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^4}=\sqrt{e^{i2\pi}}=e^{i\pi}=-1\)

Hier beginnt der Fehler allerdings bereits schon bei \(1=\sqrt{(-1)(-1)}\).

Korrektur:

Eigentlich nichts, aber \(\sqrt{e^{i2\pi}}=e^{i2\pi\cdot\frac{1}{2}}=e^{i\pi}\) ist nicht richtig. Richtig wäre \(\sqrt{e^{i2\pi}}=|e^{i\pi}|=|-1|=1\) , oder?

---

(-1)*(-1)=1 => erst denken, dann schreiben :)

---

Während \((-1)(-1)=1\) ist, ist \(1\neq\sqrt{(-1)(-1)}\). Es gilt \(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\) NUR genau dann, wenn \(a,b\in (0,\infty)\).

---

Was hat das Eine mit dem Anderen zu tun ?

---

Eigentlich nichts, aber \(\sqrt{e^{i2\pi}}=e^{i2\pi\cdot\frac{1}{2}}=e^{i\pi}\) ist nicht richtig. Richtig wäre \(\sqrt{e^{i2\pi}}=|e^{i\pi}|=|-1|=1\) , oder? Im Komplexen sollte allerdings \(\sqrt{x^2}=|x|\) nicht immer gelten. Bei einem Ausflug in die komplexe Welt sollte man wohl immer seine Brille mitnehmen und genau hinschauen, wenn man wieder in die reelle Welt wechselt.

---

Dann wäre nach deiner Logik auch \(\sqrt{-1}=\sqrt{i^2}=|i|=1\). Ich habe einfach nur die Potenzgesetze angewendet, die im Komplexen offensichtlich mit großer Vorsicht anzuwenden sind.

---

Ja, sorry, ich habe mich im Labyrinth der komplexen Zahlen verirrt.

Answer 2

Welche Zahlen hast Du eingesetzt und welche Ergebnisse erhalten? Testweise stimmts bei mir.

Comments

Ja.... da hast du Recht. Wie ich gerechnet habe? Keine Ahnung. Jetzt stimmt's auf jeden Fall auch bei mir, als ich versuchen wollte, dir zu zeigen, wie es bei mir nicht stimmt. ;-)

---

Probier mal Werte für \( \alpha \in (\pi , 2\pi) \) . Was siehts Du da?