Skalarprodukt Untervektorräume

Question

ich weiß nicht ganz, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Sie lautet:

Sei $$ Q \subseteq  V $$ die Teilmenge der Polynome f von $$ Grad \le  3 $$, die $$ \left< f-h | f-h \right> = 3 $$ erfüllen.

Ist Q ein Untervektorraum von V?

Zusätzlich sei gegeben:

Auf dem reellen Vektorraum $$ V := C^0 ([0,1]) $$ aller stetigen Funktionen auf [0,1] ist durch

$$ \left< f|g  \right> := \int _{ f(x) g(x) dx }^{ 0 }{ 1 } $$

ein Skalarprodukt definiert. Sei $$ h: [0,1] -> \mathbb{R}: x \mapsto  3x $$

Ich danke euch schon einmal im Voraus!

Comments

Sorry, ich hab den Anfang vergessen. Das ist nämlich Aufgabe b)

Er lautet:

Auf dem reellen Vektorraum $$ V := C⁰ ([0,1]) $$ aller stetigen Funktionen auf $$ [0,1] $$ ist durch $$ \left< f|g \right> := \int _{0}^{1}{f(x)g(x) dx} $$ ein Skalarprodukt definiert. Sei $$ h : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto 3x $$ .

Danke nochmal im Voraus!

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man kann LaTeX auch ohne erzwungene Zeilenumbruche benutzen: https://www.mathelounge.de/faq#qu11 .

Der Abbildungspfeil nach rechts hat in LaTeX übrigens den Befehl \rightarrow. Du ahnst sicher, welcher Befehl für den Pfeil nach links steht.

MfG

Mister

Answer 1

wenn \( f = ax^3 + bx^2 + cx + d \) ist und \( h = 3x \), dann ist

\( g \equiv f - h = ax^3 + bx^2 + (c-3)x + d \)

eine lineare Verschiebung im Parameterraum.

Ist jetzt \( g \circ g = 3 \) für ein Polynom \( g \), so ist

\( (g + g) \circ (g + g) = \int_0^1 dx\ (g+g)^2 = \int_0^1 dx\ (g^2 + 2g^2 + g^2) = 4 \cdot 3 = 12 \neq 3 \)

oder

\( (g - g) \circ (g - g) = 0 \circ 0 = \int_0^1 dx\ 0^2 = 0 \neq 3 \).

Infolge ist die Menge nicht abgeschlossen und damit auch kein (Unter-)Vektorraum.

MfG

Mister

Comments

Okay, mir ist bis zur 4. Zeile alles klar. Das einzige, was ich nicht verstehe ist der Zusammenhang zur 5. Zeile. Wie kommst du jeweils auf g+g. Kannst du diesen Zusammenhang bitte näher erläutern.

Danke.

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auf der Suche nach einem Widerspruch konstruierte ich g + g und g - g. Wir ersetzen f - h durch g, da wir bijektiv zwischen der Menge aller f und aller g durch g = f - h und f = g + h abbilden können. Damit ersparen wir uns Schreibarbeit.

MfG

Mister