Aufgabe:
ich suche den geschlossenen Ausdruck von $$ \sum \limits_{k=0}^{2n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} $$
Problem/Ansatz:
Ich wollte das mit über die erzeugenden Funktion lösen.
Dazu habe ich die Summe erstmal aufgeteilt:
$$ \sum \limits_{k=0}^{2n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} $$ = $$ \sum \limits_{k=0}^{n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} +\sum \limits_{k=n+1}^{2n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} $$
dann habe ich den Bruch $$ \frac{*6}{7^n + 1} $$ ausmultipliziert und bei der zweiten Summe 7^n rausgezogen
so hatte ich $$ \frac{6}{7^n + 1} * (\sum \limits_{k=0}^{n}{7^k} + 7^n* \sum \limits_{k=1}^{n}{7^k}) $$
Durch Umformung erhalte ich $$ 6* \sum \limits_{k=0}^{n}{7^k} - \frac{7^n*6}{7^n + 1} $$
Gut ist, dass ich von der ersten Summe ganz einfach die erzeugende Funktion bestimmten kann:
$$ 6* \frac{1}{1-7x}* \frac{1}{1-x} $$
Mein Problem ist, dass ich mit den $$ \frac{7^n*6}{7^n + 1} $$ nichts anfangen kann... hat jemand eine Idee? Oder habe ich vorher einen Fehler gemacht?