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Aufgabe:

ich suche den geschlossenen Ausdruck von $$ \sum \limits_{k=0}^{2n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} $$


Problem/Ansatz:

Ich wollte das mit über die erzeugenden Funktion lösen.

Dazu habe ich die Summe erstmal aufgeteilt:

$$ \sum \limits_{k=0}^{2n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} $$ = $$ \sum \limits_{k=0}^{n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} +\sum \limits_{k=n+1}^{2n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} $$

dann habe ich den Bruch $$ \frac{*6}{7^n + 1} $$ ausmultipliziert und bei der zweiten Summe 7^n rausgezogen

so hatte ich $$ \frac{6}{7^n + 1} * (\sum \limits_{k=0}^{n}{7^k} + 7^n* \sum \limits_{k=1}^{n}{7^k}) $$

Durch Umformung erhalte ich $$ 6* \sum \limits_{k=0}^{n}{7^k} - \frac{7^n*6}{7^n + 1} $$

Gut ist, dass ich von der ersten Summe ganz einfach die erzeugende Funktion bestimmten kann:

$$ 6* \frac{1}{1-7x}* \frac{1}{1-x} $$

Mein Problem ist, dass ich mit den $$ \frac{7^n*6}{7^n + 1} $$ nichts anfangen kann... hat jemand eine Idee? Oder habe ich vorher einen Fehler gemacht?

Avatar von

Könnte man nicht einfach den von \(k\) unabhängigen Faktor \(\tfrac6{7^n+1}\) ausklammern? $$\sum_{k=0}^{2n}\frac{6\cdot7^k}{7^n+1}=\frac6{7^n+1}\cdot\sum_{k=0}^{2n}7^k$$

Danke :)
Aber mit erzeugenden Funktion würd euch dann trotzdem nicht weiterkommen. Oder?

1 Antwort

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Aloha :)

Alles, was nicht von \(k\) abhängt kommt vor die Summe, danach Summenformel für geometrische Reihe:$$\sum\limits_{k=0}^{2n}\frac{7^k\cdot6}{7^n+1}=\frac{6}{7^n+1}\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=\frac{6}{7^n+1}\cdot\frac{7^{2n+1}-1}{7-1}=\frac{7^{2n+1}-1}{7^n+1}$$

Avatar von 152 k 🚀

danke für deine Antwort. Da wir die Formel nicht in der Vorlesung hatten, weiß ich nicht, ob wir die verwenden dürfen...

Wenn du die Formel für die geometrische Reihe noch nicht in der Vorlesung hattest, wird es schwierig mit der Aufgabe. Aber die Summenformel kannst du auch schnell herleiten:

$$\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=7^0+7^1+7^2+\cdots+7^{2n}$$$$7\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=7^1+7^2+7^3\cdots+7^{2n+1}$$$$6\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=(7-1)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=7\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k-\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k$$$$\quad=(7^1+7^2+7^3\cdots+7^{2n+1})-(7^0+7^1+7^2+\cdots+7^{2n})$$$$\quad=7^{2n+1}-7^0$$$$\Rightarrow\quad\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=\frac{7^{2n+1}-1}{6}$$

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