Erzeugenden Funktion zur Summe von 7^k*6 / 7^n + 1

Question

Aufgabe:

ich suche den geschlossenen Ausdruck von $$ \sum \limits_{k=0}^{2n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} $$

Problem/Ansatz:

Ich wollte das mit über die erzeugenden Funktion lösen.

Dazu habe ich die Summe erstmal aufgeteilt:

$$ \sum \limits_{k=0}^{2n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} $$ = $$ \sum \limits_{k=0}^{n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} +\sum \limits_{k=n+1}^{2n}\frac{7^k*6}{7^n + 1} $$

dann habe ich den Bruch $$ \frac{*6}{7^n + 1} $$ ausmultipliziert und bei der zweiten Summe 7^n rausgezogen

so hatte ich $$ \frac{6}{7^n + 1} * (\sum \limits_{k=0}^{n}{7^k} + 7^n* \sum \limits_{k=1}^{n}{7^k}) $$

Durch Umformung erhalte ich $$ 6* \sum \limits_{k=0}^{n}{7^k} - \frac{7^n*6}{7^n + 1} $$

Gut ist, dass ich von der ersten Summe ganz einfach die erzeugende Funktion bestimmten kann:

$$ 6* \frac{1}{1-7x}* \frac{1}{1-x} $$

Mein Problem ist, dass ich mit den $$ \frac{7^n*6}{7^n + 1} $$ nichts anfangen kann... hat jemand eine Idee? Oder habe ich vorher einen Fehler gemacht?

Comments

Könnte man nicht einfach den von \(k\) unabhängigen Faktor \(\tfrac6{7^n+1}\) ausklammern? $$\sum_{k=0}^{2n}\frac{6\cdot7^k}{7^n+1}=\frac6{7^n+1}\cdot\sum_{k=0}^{2n}7^k$$

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Danke :)
Aber mit erzeugenden Funktion würd euch dann trotzdem nicht weiterkommen. Oder?

Answer 1

Aloha :)

Alles, was nicht von \(k\) abhängt kommt vor die Summe, danach Summenformel für geometrische Reihe:$$\sum\limits_{k=0}^{2n}\frac{7^k\cdot6}{7^n+1}=\frac{6}{7^n+1}\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=\frac{6}{7^n+1}\cdot\frac{7^{2n+1}-1}{7-1}=\frac{7^{2n+1}-1}{7^n+1}$$

Comments

danke für deine Antwort. Da wir die Formel nicht in der Vorlesung hatten, weiß ich nicht, ob wir die verwenden dürfen...

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Wenn du die Formel für die geometrische Reihe noch nicht in der Vorlesung hattest, wird es schwierig mit der Aufgabe. Aber die Summenformel kannst du auch schnell herleiten:

$$\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=7^0+7^1+7^2+\cdots+7^{2n}$$$$7\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=7^1+7^2+7^3\cdots+7^{2n+1}$$$$6\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=(7-1)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=7\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k-\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k$$$$\quad=(7^1+7^2+7^3\cdots+7^{2n+1})-(7^0+7^1+7^2+\cdots+7^{2n})$$$$\quad=7^{2n+1}-7^0$$$$\Rightarrow\quad\sum\limits_{k=0}^{2n}7^k=\frac{7^{2n+1}-1}{6}$$