Berechne den Zwischenwinkel von 2 Vektoren

Question

Berechne den Zwischenwinkel von zwei Vektoren a und b wenn gilt:

(a+b)*(a-b) = 0 und

a*(a+2b)=0    [ a und b sind immer Vektoren also eigentlich mit einem Pfeil drauf]

und (a,b nicht 0)

Answer 1

Aloha :)$$0=(\vec a+\vec b)(\vec a-\vec b)=\vec a^2-\vec b^2=a^2-b^2\quad\Rightarrow\quad a=b$$Die beiden Vektoren sind also gleich lang.$$0=\vec a(\vec a+2\vec b)=\vec a^2+2\vec a\vec b=a^2+2a\,\vec a^0\cdot b\,\vec b^0=a^2+2a^2\,\vec a^0\cdot\vec b^0=a^2(1+2\vec a^0\cdot\vec b^0)$$Dividieren wir beide Seiten durch \(a^2\), was erlaubt ist, da \(\vec a\ne\vec 0\), und berücksichtigen, dass das Skalarprodukt von 2 Einheitsvektoren gleich dem Cosinus des von ihnen eingeschlossen Winkels ist, haben wir:$$1+2\cos\angle(\vec a,\vec b)=0\quad\Rightarrow\quad\angle(\vec a,\vec b)=\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=120^o$$