Aloha :)
Ich habe mir den Wiki-Artikel zum Kreuzprodukt gerade mal durchgelesen und kann verstehen, dass du Schwierigkeiten hast. Das liegt nicht an dir, sondern daran, dass der Wiki-Artikel den Kern des Kreuzproduktes nicht gut beschreibt.
Der Schlüssel zum Verständnis liegt in der Bedeutung der Determinante. Wenn du \(n\) Vektoren im \(\mathbb{R}^n\) hast, kannst du diese Vektoren als Spalten in eine Matrix schreiben. Die Determinante dieser Matrix ist dann das Volumen, das diese \(n\) Vektoren im \(\mathbb{R}^n\) aufspannen.
3 Vektoren \(\vec a, \vec x, \vec y\) im \(\mathbb{R}^3\) spannen einen Spat auf, sein Volumen ist:
$$V=\left|\begin{array}{c}a_1 & x_1 & y_1\\a_2 & x_2 & y_2\\a_3 & x_3 & y_3\end{array}\right|=a_1\left|\begin{array}{c}x_2 & y_2\\x_3 & y_3\end{array}\right|-a_2\left|\begin{array}{c}x_1 & y_1\\x_3 & y_3\end{array}\right|+a_3\left|\begin{array}{c}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|$$Die Determinante wurde nach der ersten Spalte entwickelt (das Minus-Zeichen vor \(a_2\) kommt von der "Schachbrett-Regel"). Die rechte Seite kann man als Produkt von 2 Vektoren schreiben:
$$V=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{c}x_2 & y_2\\x_3 & y_3\end{array}\right|\\-\left|\begin{array}{c}x_1 & y_1\\x_3 & y_3\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{c}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_2y_3-x_3y_2\\-(x_1y_3-x_3y_1)\\x_1y_2-x_2y_1\end{array}\right)$$Der zweite Vektor definiert das "Kreuzprodukt" von \(\vec x\) und \(\vec y\):
$$\vec x\times\vec y:=\left(\begin{array}{c}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{array}\right)$$
Aus der Determinanten-Herkunft des Kreuzproduktes kannst du sofort 2 wichtige Eigenschaften folgern:
1) Setzt man in die Derminante \(\vec a=\vec x\) oder \(\vec a=\vec y\) ein, enthält sie 2 gleiche Spalten und hat daher den Wert 0 (es wird kein Volumen aufgespannt). Das heißt \(\vec x\times\vec y\) steht senkrecht auf \(\vec x\) und auf \(\vec y\).
2) Wenn du \(\vec x\) und \(\vec y\) in der Determinante vertauschst, ändert die Determinante ihr Vorzeichen. Das liefert die Anti-Symmetrie des Kreuzproduktes: \(\vec x\times\vec y=-\vec y\times\vec x\).
Dieses Verständnis kannst du nun auf den \(\mathbb{R}^4\) übertragen. Wir schreiben wieder einen Vektor \(\vec a\in\mathbb{R}^4\) und dazu die 3 gegebenen Vektoren des \(\mathbb{R}^4\) als Spalten in eine Determinante und entwickeln diese nach der ersten Spalte:
$$V_4=\left|\begin{array}{c}a_1 & 1 & 3 & 2\\a_2 & 2 & 2 & 1\\a_3 & 0 & 1 & 2\\a_4 & 3 & 2 & 5\end{array}\right|$$$$\phantom{V_4}=a_1\left|\begin{array}{c}2 & 2 & 1\\0 & 1 & 2\\3 & 2 & 5\end{array}\right|-a_2\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 2\\3 & 2 & 5\end{array}\right|+a_3\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\2 & 2 & 1\\3 & 2 & 5\end{array}\right|-a_4\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\2 & 2 & 1\\0 & 1 & 2\end{array}\right|$$$$\phantom{V_4}=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\\a_4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}11\\-13\\-17\\5\end{array}\right)$$
Der gesuchte Vektor ist also \((11;-13;-17;5)\).
