Kreuzprodukt verstehen und auf konkretes Beispiel anwenden

Question

Hallo ihr Lieben!

Ich kämpfe schon das ganze Wochenende mit einem Problem und komme nicht weiter. Wir sollen uns auf Wikipedia durchlesen, wie das Kreuzprodukt funktioniert und dann auf Basis unserer Überlegungen einen Vektor bestimmen, der auf den 3 Vektoren $\{(1,2,0,3), (3,2,1,2), (2,1,2,5)\}$ senkrecht steht.

Ich habe mir das auf Wikipedia durchgelesen, aber offenbar nicht gut genug verstanden. Wie kombiniert man denn 3 Vektoren zum gesuchten senkrechten Vektor? Geht das überhaupt mit dem Kreuzprodukt? Oder anders gefragt, wie kann ich den gesuchten senkrechten Vektor bestimmen? [Die Lehrerin stellt uns manchmal Aufgaben, die sich widersprechen, damit wir Zusammenhänge "besser verstehen", wie sie sagt.]

Comments

Du befindest dich im $\mathbb{R}^4$?

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Vom Duplikat:

Titel: Alle orthogonalen Vektoren in 4 Dimensionen

Stichworte: vektoren,orthogonal

liebe Mathefans,

mir wurden folgende 3 Vektoren gegeben:

(1,2,0,3), (3,2,1,2), (2,1,2,5)

Dazu soll ich nun alle orthogonalen Vektoren finden.

In 3 Dimensionen würde ich das Vektorprodukt bilden, um die orthogonalen Vektoren zu finden. Aber in 4 Dimensionen habe ich keine Form des Vektorproduktes gefunden.

Wie muss ich hier vorgehen?

Danke vorab für eure Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

Ich habe mir den Wiki-Artikel zum Kreuzprodukt gerade mal durchgelesen und kann verstehen, dass du Schwierigkeiten hast. Das liegt nicht an dir, sondern daran, dass der Wiki-Artikel den Kern des Kreuzproduktes nicht gut beschreibt.

Der Schlüssel zum Verständnis liegt in der Bedeutung der Determinante. Wenn du $n$ Vektoren im $\mathbb{R}^n$ hast, kannst du diese Vektoren als Spalten in eine Matrix schreiben. Die Determinante dieser Matrix ist dann das Volumen, das diese $n$ Vektoren im $\mathbb{R}^n$ aufspannen.

3 Vektoren $\vec a, \vec x, \vec y$ im $\mathbb{R}^3$ spannen einen Spat auf, sein Volumen ist:

$$V=\left|\begin{array}{c}a_1 & x_1 & y_1\\a_2 & x_2 & y_2\\a_3 & x_3 & y_3\end{array}\right|=a_1\left|\begin{array}{c}x_2 & y_2\\x_3 & y_3\end{array}\right|-a_2\left|\begin{array}{c}x_1 & y_1\\x_3 & y_3\end{array}\right|+a_3\left|\begin{array}{c}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|$$Die Determinante wurde nach der ersten Spalte entwickelt (das Minus-Zeichen vor $a_2$ kommt von der "Schachbrett-Regel"). Die rechte Seite kann man als Produkt von 2 Vektoren schreiben:

$$V=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{c}x_2 & y_2\\x_3 & y_3\end{array}\right|\\-\left|\begin{array}{c}x_1 & y_1\\x_3 & y_3\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{c}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_2y_3-x_3y_2\\-(x_1y_3-x_3y_1)\\x_1y_2-x_2y_1\end{array}\right)$$Der zweite Vektor definiert das "Kreuzprodukt" von $\vec x$ und $\vec y$:

$$\vec x\times\vec y:=\left(\begin{array}{c}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{array}\right)$$

Aus der Determinanten-Herkunft des Kreuzproduktes kannst du sofort 2 wichtige Eigenschaften folgern:

1) Setzt man in die Derminante $\vec a=\vec x$ oder $\vec a=\vec y$ ein, enthält sie 2 gleiche Spalten und hat daher den Wert 0 (es wird kein Volumen aufgespannt). Das heißt $\vec x\times\vec y$ steht senkrecht auf $\vec x$ und auf $\vec y$.

2) Wenn du $\vec x$ und $\vec y$ in der Determinante vertauschst, ändert die Determinante ihr Vorzeichen. Das liefert die Anti-Symmetrie des Kreuzproduktes: $\vec x\times\vec y=-\vec y\times\vec x$.

Dieses Verständnis kannst du nun auf den $\mathbb{R}^4$ übertragen. Wir schreiben wieder einen Vektor $\vec a\in\mathbb{R}^4$ und dazu die 3 gegebenen Vektoren des $\mathbb{R}^4$ als Spalten in eine Determinante und entwickeln diese nach der ersten Spalte:

$$V_4=\left|\begin{array}{c}a_1 & 1 & 3 & 2\\a_2 & 2 & 2 & 1\\a_3 & 0 & 1 & 2\\a_4 & 3 & 2 & 5\end{array}\right|$$$$\phantom{V_4}=a_1\left|\begin{array}{c}2 & 2 & 1\\0 & 1 & 2\\3 & 2 & 5\end{array}\right|-a_2\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 2\\3 & 2 & 5\end{array}\right|+a_3\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\2 & 2 & 1\\3 & 2 & 5\end{array}\right|-a_4\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\2 & 2 & 1\\0 & 1 & 2\end{array}\right|$$$$\phantom{V_4}=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\\a_4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}11\\-13\\-17\\5\end{array}\right)$$

Der gesuchte Vektor ist also $(11;-13;-17;5)$.

Comments

Wow, vielen lieben Dank.

Super erklärt, ich habe das alles sofort verstanden.

Answer 2

Du kannst das "normale" Kreuzprodukt auf R⁴ übertragen,

indem du deine Vektoren in eine Matrix schreibst und als 4. Spalte

a
b
c
d

ergänzt.

Die Determinate dieser Matrix ist

-11a+13b+17c-5d

und die Koeffizienten von abcd ergeben den Vektor

-11
13
17
-5

der mit jedem der  gegebenen das Skalarprodukt 0 hat, also

sozusagen senkrecht auf allen steht.

Answer 3

Beschäftige dich eventuell mit folgendem Text aus Wikipedia:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

DET([[1; 0; 0; 0], 1, 3, 2; [0; 1; 0; 0], 2, 2, 1; [0; 0; 1; 0], 0, 1, 2; [0; 0; 0; 1], 3, 2, 5]) = [11; -13; -17; 5]

Answer 4

mir wurden folgende 3 Vektoren gegeben: (1,2,0,3), (3,2,1,2), (2,1,2,5)
Dazu soll ich nun alle orthogonalen Vektoren finden.

Da du weißt, dass das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren Null ist muss gelten:

1·a + 2·b + 3·d = 0
3·a + 2·b + c + 2·d = 0
2·a + b + 2·c + 5·d = 0

Dann hätte ich als Lösung a = 2.2·d ∧ b = - 2.6·d ∧ c = - 3.4·d

Ich denke diese Lösung ist nicht nur einfacher sondern auch schneller als das Kreuzprodukt.

Answer 5

Aloha :)

Ich würde das mit Hilfe folgender Determinante lösen:

$$D:=\left|\begin{array}{c}a & 1 & 3 & 2\\b & 2 & 2 & 1\\c & 0 & 1 & 2\\d & 3 & 2 & 5\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{c}2 & 2 & 1\\0 & 1 & 2\\3 & 2 & 5\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 2\\3 & 2 & 5\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\2 & 2 & 1\\3 & 2 & 5\end{array}\right|-d\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\2 & 2 & 1\\0 & 1 & 2\end{array}\right|$$$$\phantom{D:}=11a-13b-17c+5d$$Die gegebenen Vektoren habe ich als Spaltenvektoren eingetragen. Wenn du für den Vektor $(a,b,c,d)$ einen der anderen Spaltenvektoren einträgst, hat die Determinante 2 gleiche Spalten und ist damit gleich Null. Daher ist das Skalarprodukt von $(11,-13,-17,5)$ mit jedem der Spaltenvektoren gleich Null. Diese Lösung ist bis auf ein Vielfaches eindeutig bestimmt.