Aufgabe:
Hallo ich habe folgende Matrix meines linearen DGL Systems erster Ordnung: u' = \( \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)*u. Die Eigenwerte sind λ = +- i -1 (Lösung stimmt). Als Eigenvektoren ergeben sich die linearen Hüllen: L\( \begin{pmatrix} i\\1 \end{pmatrix} \) und L\( \begin{pmatrix} -i\\1 \end{pmatrix} \). In der Lösung wurden jedoch angeben als EV: L\( \begin{pmatrix} i\\1 \end{pmatrix} \) und L\( \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} \). Der 2te Vektor ist also ein Vielfaches um i. Dennoch sind ja beides Eigenvektoren zum Eigenwert λ = -i-1.
Stellt man jetzt die reelle Darstellung der Lösung auf, entstehen 2 unterschiedliche Ergebnisse.
mit EV \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} als Lösung:
e-x * \begin{pmatrix} -sin(x) & cos(x) \\ cos(x) & sin(x) \end{pmatrix} * \(\begin{pmatrix} c1\\c2 \end{pmatrix} \)
und mit EV \( \begin{pmatrix} -i\\1 \end{pmatrix} \) :
e-x * \begin{pmatrix} -sin(x) & -sin(x) \\ cos(x) & cos(x) \end{pmatrix} * \(\begin{pmatrix} c1\\c2 \end{pmatrix} \)
Problem/Ansatz:
Bei der weiteren Berechnung der Konstanten des AWP: u(0) = (1,0) tritt folgendes Problem auf: Unterschiedliche Werte für c1,c2 bzw. im 2ten Fall gar keine Lösung... Wo ist mein Fehler? Eigenvektoren sind nicht eindeutig, aber dennoch ist mein Eigenvektor ein korrekter zum Wert -1-i. Müsste nicht so oder so das selbe Ergebnis rauskommen?
Re(-i*e(-1-i)x) = Re(-i*e-x(cos(x)-i*sin(x)))=Re(e-x(-sin(x)-i*cos(x))) = -e-xsin(x)
aber:
Re(1*e(-1-i)x) = Re(e-x(cos(x)-i*sin(x)))=e-xcos(x)
Vielen Dank schon mal für die Hilfe..
Gruß
Jonas
