Grenzwert durch h-Methode errechnen

Question

ich komme bei den Aufgaben nicht weiter, da ich nicht wirklich weiß wie ich den Grenzwert berechnen soll und dabei Teile des Terms sich wegkürzen.

Ich soll das Ganze mit der H-Methode berechnen. Folgende Aufgaben:

a)lim x→ -3  (2x2-18) / (x+3)

b)lim x→ 5  (x2-7x+10) / (x-5)

c)lim x→ 1    (x2-x) / (x-1)

d)lim x→ x0  (x2-x02) / (x-x0)

Könntet ihr vielleicht zu den vollständigen Rechenweg aufschreiben, ich verstehe nämlich nicht wie sich etwas wegkürzt bzw. „zusammengezogen“ wird.

Answer 1

Ich denke ich mache es einmal vor und dann probierst du den Rest ähnlich zu machen. Ok?

a)

$$ \lim\limits_{x \to -3} \frac{2x^2 - 18}{x - 3}\\ = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2(-3 + h)^2 - 18}{-3 + h - 3}\\ = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2(9 - 6h + h^2) - 18}{h}\\ = \lim\limits_{h \to 0} \frac{18 - 12h + 2h^2 - 18}{h}\\ = \lim\limits_{h \to 0} \frac{- 12h + 2h^2}{h}\\ = \lim\limits_{h \to 0} - 12 + 2h\\ = -12 $$

Comments

Erstmal vielen Dank.

Aber warum kürzen sich im letzten Term 3 mal das h weg. Verstehen Sie was ich meine?

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Kürzen heißt Zähler und Nenner durch den gleichen Wert zu teilen.

Im Nenner ist h / h eben 1 und damit fällt der Nenner weg.

Im Zähler wird eine Summe durch h geteilt und damit muss jeder Summand durch h geteilt werden

(-12h + 2h^2):h = -12h:h + 2h^2:h = -12 + 2h

Du kannst auch vorher im Zähler ein h ausklammern. Das wird in der Schule meist so gemacht und dazu gibt es dann den Merkspruch:

Aus Summen kürzen nur die Dummen.

Natürlich dürfen auch die Schlauen aus Summen kürzen, weil die wissen wie es geht :)

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Das klingt alles ziemlich logisch! Vielen lieben Dank, jetzt habe ich es verstanden.

Answer 2

Die Zähler in allen Aufgaben kann man wie folgt zerlegen. Der Nenner kürzt sich dann vollständig aus. Die h-Methode lässt sich auch nach dem Kürzen anwenden, ist aber sinnfrei.

2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x - 3)(x + 3)

x^2-7x+10 =(x-5)(x-2)

x^2-x = x(x-1)

x^2- y^2 = (x-y)(x+y)