Gradient berechnen, wenn Funktion nur vom Betrag abhängt

Question

ich stehe etwas auf dem Schlauch und benötige mal einen Tipp.

Wie kann man den Gradienten einer Funktion f(r) berechnen, wenn diese nur vom Betrag des Vektors \(\vec r\) abhängt?

Danke schon mal vorab.

Answer 1

Aloha :)

$$\text{grad}\,f(r)=\frac{\partial f(r)}{\partial\vec r}=\frac{\partial f(r)}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial\vec r}=f'(r)\cdot\frac{\partial }{\partial\vec r}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}$$$$=f'(r)\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{2x_1}{2\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}\\\vdots\\\frac{2x_n}{2\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}\end{array}\right)=f'(r)\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{x_1}{r}\\\vdots\\\frac{x_n}{r}\end{array}\right)$$$$=f'(r)\cdot\frac{\vec r}{r}=f'(r)\cdot\vec r^0$$Also einfach die Funktion nach \(r\) ableiten und mit dem Einheitsvektor von \(\vec r\) multiplizieren.