Durch 0 teilen als neuen Wert

Question

Aufgabe:

Warum legt man wie bei Wurzel aus -1 = i für 1/0 nicht einfach einen Wert fest?

Problem/Ansatz:

z.B. 1/0=W und 0*W =1

Comments

Kann man einen Apfel auf Null Kinder verteilen?

Answer 1

0*W =1 ==>  1 =  0*W = (0+0)*W = 0*W + 0*W = 1+ 1 = 2

und 1=2 möchte man wohl nicht.

Außerdem wird das i nicht einfach "festgelegt". Die Konstruktion der

komplexen Zahlen kann man auch korrekt vornehmen.

Comments

(0+0)*W = 0*W + 0*W

Womit begründest du diese Gleichung ?

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Sowas wie das Distributivgesetz sollte ja bei der

Neufestlegung sicher erhalten bleiben

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Das Argument erinnert an "Die Ordnung sollte ja bei der Einführung komplexer Zahlen sicher erhalten bleiben" - und weil sie das nicht tut existieren keine kompexen Zahlen ?

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Ich hatte die Frage so verstanden:

Gibt es eine Körpererweiterung von R mit einem

Element w =   1/0     ?

Answer 2

(1) Es gilt

\( i^2 = -1 \) und nicht \( i = \sqrt{-1} \). Die Wurzel im Komplexen rechnet sich anders als im Reellen.

(2) Es gilt:

a ist Teiler von b, wenn es ein n gibt mit a*n = b.

D.h.

0 ist Teiler von 1, wenn es ein n gibt mit 0*n = 1, und das gibt es nicht.

Answer 3

Aloha :)

Betrachte z.B. \(4\cdot2=8\). Wenn ich nun \(8/2\) rechne, erhalte ich die \(4\) als eindeutigen "Partner" der \(2\) aus der vorhergegangenen Multiplikation. Ebenso erhalte ich mit \(8/4\) die \(2\) als eindeutigen "Partner" der \(4\) aus der vorhergegangenen Multiplikation. Das heißt, aus Faktor1 mal Faktor2 gleich Produkt, kann man mittels Produkt geteilt durch Faktor1 eindeutig den Faktor2 bestimmen bzw. mittels Produkt geteilt durch Faktor2 eindeutig den Faktor1.

Diese Eindeutigkeit gibt es bei der Multiplikation mit Null nicht, weil jede Zahl \(a\) multipliziert mit \(0\) wieder \(0\) ergibt, also \(a\cdot0=0\). Wenn ich nun versuche, das Produkt (also \(0\)) durch Faktor2 (auch \(0\)) zu dividieren, kann ich nicht mehr auf den Wert von Faktor1 (also \(a\)) schließen. Theoretisch ist für \(0/0\) jedes \(a\in\mathbb{R}\) als Antwort möglich. Mit anderen Worten, die Multiplikation mit \(0\) zerstört die Information über den anderen Faktor, sodass eine Rekonstruktion durch anschließende Division nicht mehr möglich ist.

Jetzt könnte man noch versuchen, \(x/0\) für \(x\ne0\) zu definieren. Dazu müsste \(x\) das Ergebnis einer vorhergegangenen Multiplikation mit \(0\) gewesen sein, also etwas wie \(a\cdot0=x\). Ein solches \(x\ne0\) gibt es aber nicht, weil jede Multiplikaton mit \(0\) stets \(0\) ergibt.

Es ist daher nicht möglich, eine Division durch \(0\) sinnvoll zu definieren.

Comments

Deine ganze Argumentation ist falsch.

Es gibt in der Mathematik keine Division und es darf auch niemals damit begründet und bewiesen werden.

Division ist definiert als die Multiplikation mit dem Inversen, und was das Inverse ist, hängt sehr stark von der zugrunde gelegten Struktur ab, in der man rechnet.

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Hallo ML,

Es gibt in der Mathematik keine Division

ist eine recht starke Behauptung. Mir fallen spontan Regeln ein, wie zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden, wie man zwei Brüche dividiert usw.

Warum sollte man also Regeln für eine Operation festlegen, die es "eigentlich gar nicht gibt"?

Ich vermute mal, deine Behauptung bezieht sich auf die Zahlentheorie (als eins von vielen Teilgebieten der Mathematik).

In diesem Zusammenhang unterstütze ich deine Aussage (fast) uneingeschränkt.

Wenn man den Begriff "Division" einfach als "Multiplikation mit dem Inversen" definiert, gibt es sie ja doch (weil es eine Multiplikation mit dem Inversen auch nach deiner Aussage gibt).

Tschakabumba hat nach meiner Einschätzung versucht,  Emma1630 (vermutlich Schülerin) die Thematik auf eine Weise zu erklären, die von Schülern verstanden wird. (Der Begriff "Multiplikation mit dem Inversen" sollte den meisten Schülern völlig unbekannt sein.)

Was du mit

Division ist definiert als die Multiplikation mit dem Inversen, und was das Inverse ist, hängt sehr stark von der zugrunde gelegten Struktur ab, in der man rechnet.

formuliert ist zwar korrekt, ich möchte aber nicht, dass bei der Fragestellerin aufgrund deines Kommentars der Eindruck entsteht, dass man Tschakabumbas Argumente missachten sollte.

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Aloha ML :)

Meine Argumentation trifft genau den Kern der Sache! Ich habe nur versucht, das so aufzuschreiben, dass es auch Schüler bzw. normale Menschen verstehen können. Die Multiplikation mit Null zersrört die Information über den anderen Faktor. Daher kann man kein multiplikativ inverses Element zur 0 angeben bzw. durch 0 dividieren.

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Das ist keine Frage von Zahlentheorie

a=x+1 ist Teiler von b=x^2-1, weil es ein n=x-1 gibt mit a*n = b (in den Polynomen).

a=7.3 ist Teiler von b=20.44, weil es ein n=2.8 gibt mit a*n = b (in R).

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a=7.3 ist Teiler von b=20.44, weil es ein n=2.8 gibt mit a*n = b (in R).

Auf welche Fachliteratur beziehst du dich mit diesem Beispiel?

In wikipedia steht:

Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen.

Nun ist wikipedia nur unter der Prämisse eine seriöse Quelle, dass sich bei fehlerhaften Einträgen erfahrungsgemäß sehr schnell Mitarbeitende finden, die Fehler korrigieren und sich Fehler so nicht lange unwidersprochen halten können.  Abgesehen davon ist die Wikipedia-Aussage tatsächlich unvollständig, weil sie nichts über Teiler von Polynomen aussagt.
Ich habe allerdings in einer ersten Recherche keine andere Quelle gefunden, die den Begriff der Teilbarkeit über den Bereich der reellen Zahlen verwendet. Kannst du da mit einer Quelle weiterhelfen?

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Über die inkompentente mathematische Scheiße in Wikipedia und deren Weigerung, dieses zu ändern, habe ich mich schon mehrmals ausgelassen.

Die reellen Zahlen und die Polynome sind ein Ring, das reicht als Begründung.

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In diese Richtung (Existenz eines multiplikativen Inversen) ging meine Rückfrage nicht. In welcher Literatur wird dieses multiplikative Inverse in R tatsächlich als "TEILER" bezeichnet?

Answer 4

Das Rechnen mit komplexen Zahlen z = x + iy ist möglich, weil die Rechenregeln für reelle Zahlen dadurch nicht durcheinander gebracht werden. Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gelten weiterhin, ebenso a·0=0, a·1=a usw.

Wenn wir jetzt k=1/0 als neue Zahl festlegen, folgt k·0=1, was im Widerspruch zu k·0=0 liegt. Demnach wäre 0=1 und alle Zahlen wären gleich 0 und das kann ja niemand ernsthaft wollen. :)

Comments

k·0=1, was im Widerspruch zu k·0=0 liegt.

Das hast du sehr gut erkannt, und deshalb ist deine zweite Gleichung falsch, k·0 ist eben 1 und nicht 0.

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Da a·0=0 für alle Zahlen gilt, also auch für a=k, erhält man die widersprüchlichen Gleichungen k·0=0 und k·0=1. Daraus folgt wegen der Eindeutigkeit der Ergebnisse 0=1 und das widerspricht den Körperaxiomen.

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Da a·0=0 für alle Zahlen gilt, also auch für a=k

Das ist ein Irrtum. k ist keine Zahl (sieht man doch schon am Buchstaben k).

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Die imaginäre Einheit i ist auch eine Zahl, obwohl sie durch einen Buchstaben dargestellt wird. Die Fragestellerin wollte wissen, warum für 1/0 kein neuer Wert festgelegt wird. Wenn mit diesem Wert gerechnet werden soll, gibt es Widersprüche. Wenn es keine Zahl sein soll, was dann?