Wie kann ich von einer inversen Matrix die Determinante ableiten?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrixgleichung A · X + B · X = C mit den Matrizen
A = 1  −3
      0    1

B = 1   3
     −1  1

C = −2   10
      13  −23

Bestimmen Sie die Matrix X. Welchen Wert hat detX?
(a) −67
(b) 50
(c) 51
(d) −21
(e) 39

Problem/Ansatz

hoffe es ist halbwegs leserlich. Meine Frage: wie kann ich von x^-1 die Determinante bestimmen?

Answer 1

Aloha :)

Nach \(X^{-1}\) ist nicht gefragt, du sollst \(X\) und \(\det(X)\) bestimmen:

$$A=\left(\begin{array}{c}1 & -3\\0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad B=\left(\begin{array}{c}1 & 3\\-1 & 1\end{array}\right)\quad;\quad C=\left(\begin{array}{c}-2 & 10\\13 & -23\end{array}\right)$$

$$AX+BX=C\;\;\Leftrightarrow\;\;(A+B)X=C\;\;\Leftrightarrow\;\;\left(\begin{array}{c}2 & 0\\-1 & 2\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{c}-2 & 10\\13 & -23\end{array}\right)$$

$$X=\left(\begin{array}{c}2 & 0\\-1 & 2\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c}-2 & 10\\13 & -23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} & 0\\\frac{1}{4} & \frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-2 & 10\\13 & -23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1 & 5\\6 & -9\end{array}\right)$$

$$\det(X)=(-1)\cdot(-9)-6\cdot5=9-30=-21$$

Answer 2

AX+BX=C

(A+B)X=C

X=(A+B)^(-1) *C