Bestimmung Ganzrationaler Funktion 3ten grades

Question

Aufgabe:

Ganzrationale Funktion 3ten Grades Wendepunkt in W(0/2) und Tiefpunkt in T(-1/0)

Ermittlung der Ausgangsfunktion

Bitte eine detaillierte Darstellung der Aufstellung der vier Funktionen die man aus den Informationen entnehmen kann!!

Danke

Answer 1

$$f(x)=a_3*x^3+a_2*x^2+a_1*x+a_0$$

$$f'(x)=3a_3*x^2+2*a_2x+a_1$$

$$f''(x)=6a_3*x+2a_2$$

Informationen:

1) Besitzt den Punkt P(0|2) und somit

$$f(0)=2$$

2) Besitzt den Punkt P(-1|0) und somit

$$f(-1)=0$$

3) Wendestelle bei x_w = 0, somit

$$f''(0)=0$$

4) Extremstelle bei x_E = -1, somit

$$f'(-1)=0$$

Einsetzen in allgemeine Gleichungen ganzrationaler Funktionen 3. Grades (s.o.) liefert:

1) $$2=a_0$$

2) $$0=-a_3+a_2-a_1+a_0$$

3) $$0=2a_2$$

bzw.

$$0=a_2$$

4) $$0=3a_3-2a_2+a_1$$

Zusammenfassend also, da a₀ = 2 und a₂ = 0:

2)

$$-2=-a_3-a_1$$

4)

$$0=3a_3+a_1$$

-> 2) + 4) führt zu:

$$-2=2a_3 <-> a_3=-1$$

Einsetzen in eine der Gleichungen führt dann letztlich zu:

$$0=-3+a_1 <-> a_1=3$$

Insgesamt eingesetzt in die allgemeine Funktion f(x):

$$f(x)=-x^3+3x+2$$

Comments

Ach danke jetzt seh ich woran es gehakt hat

Answer 2

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d  ; f'(x)=3ax^2+2bx+c ; f''(x)=6ax+2b

f(0)=2 ⇒ d=2

f(-1)=0 ⇒ 0=-a+b-c+2

f'(-1)=0 ⇒ 0=3a-2b+c

f''(0)=2 ⇒ 2=2b ⇒ b=1

Du hast also d=2 und b=1. Du hast nun noch zwei Gleichungen und zwei Variabeln.

Comments

$$f''(0)=0 \Rightarrow 0=2\cdot b \Rightarrow b=0 $$

Answer 3

Ich empfehle http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Unterstützung und Kontrolle

Answer 4

Ganzrationale Funktion 3. Grades Wendepunkt in W\((0|2)\) und Tiefpunkt in T\((-1|0)\)

Tiefpunkt in T\((-1|0)\) doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a(x+1)^2(x-N)\)

\(f'(x)=a[(2x+2)(x-N)+(x+1)^2]\)

\(f''(x)=a[2(x-N)+(2x+2)+2(x+1)]\)

Wendepunkteigenschaft:

W\((0|...)\):

\(f''(0)=a[2(-N)+(2)+2(1)]=0\)

\(N=2\):

\(f(x)=a(x+1)^2(x-2)\)

W\((0|2)\):

\(f(0)=a(1)^2(-2)=2\)

\(a=-1\):

\(f(x)=-(x+1)^2(x-2)\)