b) Den Winkel berechnest du mit dem Skalarprodukt. Da B(0|0|0) ist, können die Ortsvektoren von P1 und P2 verwendet werden.
\( \cos \alpha =\dfrac{ \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 4 \\ 2,5 \end{pmatrix} }{\sqrt{1+9+4}\cdot\sqrt{0+16+6,25}}=\dfrac{12+5}{\sqrt{14\cdot 22,25}}\\ \cos\alpha\approx 0,96320758943 \Longrightarrow \alpha \approx 15,5904046447° \)
c) Von P1 nach P2 steigt das Flugzeug um 0,5km. Um von P2 auf eine Höhe von 4,5km zu steigen muss es um 4·0,5km steigen. Zum Ortsvektor \( \overrightarrow{OP_2} \) muss also viermal der Richtungsvektor \( \overrightarrow{P_1P_2} \) addiert werden.
\( \overrightarrow{OP_3} = \overrightarrow{OP_2} + 4\cdot \overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2,5 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 8 \\ 4,5 \end{pmatrix} \)
\( P_3(4|8|4,5)\)
e) \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2,5 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 0,5 \end{pmatrix} \)
\( |\vec{x}|=4=\sqrt{r^2+(4+r)^2+(2,5+0,5r)^2}\)
Quadrieren, damit die Wurzel wegfällt.
\( 16=r^2+(4+r)^2+(2,5+0,5r)^2\)
Die quadratische Gleichung muss nun noch gelöst werden. Mit dem Wert für r können dann die gesuchten Ortsvektoren berechnet werden. Da das Flugzeug pro Sekunde um 0,1km steigt, muss die dritte Koordinate mit 10 multipliziert werden, um die gesuchte Zeit zu erhalten.
\( 16= r^2 +16 +8r +r^2 + 6,25 +2,5r +0,25r^2\)
\( 0= 2,25r^2 + 10,5r +6,25\quad |:2,25\)
\( 0= r^2 + \frac{14}{3}r+ \frac{25}{9}\)
\( r_{12}=-\frac{7}{3}\pm\sqrt{\frac{49}{9}-\frac{25}{9}}\)
\( r_1 = -3,9663 \quad; \quad r_2=-0.70034\)
Da die Flugdauer mit der Höhe berechnet werden kann, bestimmen wir nur die 3. Koordinaten der beiden Punkte.
\(x_{3}=2,5 + r\cdot 0,5 \)
\(x_{31}=2,5 -3,9663\cdot 0,5=0,5168 \quad;\quad x_{32}=2,5 -0,70034\cdot 0,5= 2,1498\)
Die Differenz beträgt 1,6330. Mit 10 multipliziert erhalten wir t=16,33s.
Das Flugzeug ist 16,33 Sekunden von der Bodenstation aus zu sehen.
d) Wenn \(P_4\) in der Ebene liegt, die durch \(P_1\), \(P_2\) und \(B\) gegeben ist, muss folgende Gleichung gelöst werden.
\( \begin{pmatrix} 1\\ 1,8 \\ w \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2,5 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0,5 \end{pmatrix} \)
1 = 0r + 1s (I)
1,8= 4r+1s (II)
w=2,5r+0,5s (III)
(I) ergibt s=1.
(II) 1,8=4r+1 liefert r=0,2
(III) w=2,5·0,2 +0,5=1
Die Höhe beträgt 1 Kilometer.
