Mathematische Symbole / Aussagen lesen

Question

Aufgabe:

$$ \left| \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } A _ { i } \right| = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| A _ { i } \right| $$

Problem/Ansatz:

Wie liest man diese diese Aussage ?

Und wieso entwickelt sich aus der linken Aussage auf einmal ein Summenzeichen auf der rechten Seite?

Answer 1

Aloha :)

Links: Die Anzahl der Elemente von der Vereinigungsmenge \(A_1\cup A_2\cup A_3\cup\ldots\cup A_n\).

Rechts: Die Summe der Anzahl der Elemente der einzelnen Mengen \(A_i\).

Wenn die beide gleich sind, bedeutet dies, dass in allen Mengen \(A_1,\ldots,A_n\) nur unterschiedliche Elemente enthalten sein dürfen. (Bis auf die leere Menge, die Teilmenge von jeder Menge ist).

Answer 2

Ich glaube:

Die Mächtigkeit der Vereingungsmenge von n Mengen ist gleich der Summe der Mächtigkeiten der n Mengen.

falsche Aussage!

Comments

Die Mächtigkeit der Vereingungsmenge der Mengen A1, A2, .... An ist gleich der Summe der Mächtigkeiten der Mengen A1, A2, ... An.

Wäre meine Lesart. So allgemein ist die Aussage falsch.

Die Aussage ist genau dann richtig, wenn die Mengen A1, A2, ... An "elementfremd" (= disjunkt) sind. D.h. kein Element von einer dieser Mengen ist gleichzeitig Element von einer anderen von diesen Mengen.

Answer 3

Beispiele:

A1={1;2;3;4} ; |A1|=4    Rechte Seite...

A2={5;6;7}    ; |A2|=3    ... der gegebenen Gleichung

A1∪A2 = {1;2;3;4;5;6;7} ;  |A1∪A2|=7   Linke Seite der gegebenen Gleichung

7=3+4

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A1={1;2;3;4} ; |A1|=4

A2={4;5;6}    ; |A2|=3

A1∪A2 = {1;2;3;4;5;6} ;  |A1∪A2|=6

6≠3+4

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Die Gleichung stimmt nur, wenn die Mengen disjunkt sind, d.h. keine gemeinsamen Elemente haben.